Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel

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Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von . Eine solche Zahl mit der Eigenschaft gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. In jedem angeordneten Körper gibt es eine , ob es aber ein solches gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von . Wenn es in eine solches gibt, so hat auch diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe Aufgabe, so dass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.

Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit als erster Näherung. Wegen

ist zu klein, d.h. es ist , wobei diese Ungleichung (zunächst) nur Sinn ergibt, wenn in existiert. Aus (mit positiv) folgt zunächst und daraus , d.h. . Man hat also die Abschätzungen

wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo liegt, und zwar unabhängig davon, ob zu gehört oder nicht, solange nur dazu gehört. Die Differenz ist ein Maß für die Güte der Approximation.

Beim Startwert ergibt sich, dass die Quadratwurzel von zwischen und liegt. Man nimmt das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also

Wegen ist dieser Wert zu groß und daher liegt im Intervall . Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt

als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Appproximation von .