Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von ${}5$. Eine solche Zahl ${}x$ mit der Eigenschaft ${}x^{2}=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. In jedem angeordneten Körper ${}K$ gibt es eine ${}5$, ob es aber ein solches ${}x$ gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von ${}K$. Wenn es in ${}K$ eine solches ${}x$ gibt, so hat auch ${}-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe Aufgabe, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.

Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung ${}x^{2}=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit ${}a=x_{0}=2$ als erster Näherung. Wegen

${}x_{0}^{2}=2^{2}=4<5\,$

ist ${}x_{0}$ zu klein, d.h. es ist ${}x_{0}<x$, wobei diese Ungleichung (zunächst) nur Sinn ergibt, wenn ${}x$ in ${}K$ existiert. Aus ${}a^{2}<5$ (mit ${}a$ positiv) folgt zunächst ${}5/a^{2}>1$ und daraus ${}(5/a)^{2}>5$, d.h. ${}5/a>{\sqrt {5}}$. Man hat also die Abschätzungen

$a<{\sqrt {5}}<5/a,$

wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo ${}{\sqrt {5}}$ liegt, und zwar unabhängig davon, ob ${}{\sqrt {5}}$ zu ${}K$ gehört oder nicht, solange nur ${}a$ dazu gehört. Die Differenz ${}5/a-a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.

Beim Startwert ${}2$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel von ${}5$ zwischen ${}2$ und ${}5/2$ liegt. Man nimmt das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also

${}x_{1}={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,.$

Wegen ${}{\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}={\frac {81}{16}}>5$ ist dieser Wert zu groß und daher liegt ${}{\sqrt {5}}$ im Intervall ${}[5\cdot {\frac {4}{9}},{\frac {9}{4}}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt

${}x_{2}={\frac {5\cdot {\frac {4}{9}}+{\frac {9}{4}}}{2}}={\frac {161}{72}}\,$

als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von ${}{\sqrt {5}}$.