Benutzer:Abrankov/Diagramm/Bemerkung

1. Mit ${}a,b,c$ sind alle durch Pärmutation entsprechende Tripel ebenfalls Dreiecke d.h. wenn drei Punkte nicht auf eine Gerade liegen man kann die beliebig Permutieren.
2. Die Menge der Dreiecke im ${}K^{2}$ ist gegenüber affine Abbildungen invariant.
3. Zu zwei Dreiecken ${}a,b,c\in K^{2}{\text{ und }}a',b',c'\in K^{2}$ existiert genau eine affine Abbildung ${}f$ mit

   ${}f(a)=a',f(b)=b',f(c)=c'\,.$

   d.h. jedes Dreieck mit affiner Abbildung kann man überführen, alle Dreiecke sind affine äquvqlent. Wenn man eine affine Abbildung anwendet, das ein Dreieck auf einen Dreieck bildet und umgekehrt, wenn man zwei Dreiecke hat das sie sich durch eine affine Abbildung unterscheiden.

4. Wenn ${}charK\neq 2$ hat, dann sind die Seitenmitten ein Dreiecks wohldefiniert

   ${}a'={\frac {1}{2}}(b+c),\,\,b'={\frac {1}{2}}(a+c),\,\,c'={\frac {1}{2}}(a+b)\,$

   
   ${}[a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }]=[a^{\prime }.b^{\prime }]+[b^{\prime }.c^{\prime }]+[c^{\prime }.a^{\prime }]$ (alternierende Funktion)

   ${}=det(a^{\prime }-b^{\prime },b^{\prime }-c^{\prime })$

   ${}=det\left({\frac {1}{2}}(b+c)-{\frac {1}{2}}(a+c)\right),\left({\frac {1}{2}}(a+c)-{\frac {1}{2}}(a+b)\right)$

   ${}=det\left({\frac {b+c-a-c}{2}}\right),\left({\frac {a+c-a-b}{2}}\right)$

   ${}=det\left({\frac {b-a}{2}}\right),\left({\frac {c-b}{2}}\right)$

   ${}={\frac {1}{4}}det\left({b-a}),({c-b}\right)$

   ${}={\frac {1}{4}}[a,b,c]$

   
   Wegen ${}[a,b,c]={\frac {1}{4}}[a,b,c]$ ist ${}a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ wieder ein Dreieck, das so genante Mittendreieck ${}a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$.