Benutzer:Bocardodarapti/Zahlentheorie/Erstellen/Beispiel zu Ganzheit/Minimalpolynom nicht ganz

Betrachte $R=K[U,V,W,Z]/(U^{3}-UV^{2}W+ZV^{3})$.

Es gilt dann (Division durch $UV^{2}$)

$({\frac {U}{V}})^{2}-W+{\frac {ZV}{U}}=0$

Betrachte die Körpererweiterung des Quotenientenkörpers (checke integer und normal?), die durch

$X^{2}-{\frac {U}{V}}X+{\frac {ZV}{U}}$

gegeben ist. Es ist dann

$(X^{2}-{\frac {U}{V}}X+{\frac {ZV}{U}})(X+{\frac {U}{V}})=X^{3}+({\frac {ZV}{U}}+({\frac {U}{V}})^{2})X+Z=X^{3}+WX+Z$ ,

so dass also eine Ganzheitsgleichung für $X$ über $R$ vorliegt, aber die Koeffizienten des Minimalpolynoms liegen nicht in $R$.