Benutzer:Cengelfr/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ nach Potengesetzen [a^n * a^m = a^(n+m)]	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ Induktionsvorraussetzung: (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Distributivgesetz: (a+b)*k = a*k + b*k	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ a und b wurden in die Summe reingezogen, a^k * a = a^k+1 ; b^(n-k) * b = b^(n-k+1)	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Erste Summe: aus k wird k-1, die Summe läuft dafür gegen n+1, statt gegen n. Für k=0 ist n über k-1 gleich Null, da n über -1 Null ist laut Definition. Zweite Summe: Summe läuft gegen n+1 statt gegen n. Dies kann man ohne Einschränkung machen, da n über n+1 gleich Null ist (Definition)	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Da beide Summen von 0 bis n+1 laufen kann man sie zusammenfassen. Außerdem lässt sich a^k * b^(n-k+1) ausklammern (innerhalb der Summe).	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ Laut Definition für Binomialkoeffizienten gilt: binom{n}{k-1} + binom{n}{k} = binom{n+1}{k}	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$