Benutzer:Cschraed/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}d(\omega \wedge \tau )$	${}\,=\,$ Definition $\omega$ und $\tau$	${}d(fdx_{I}\wedge gdx_{J})$
	${}\,=\,$ Linearität des Dachproduktes in den einzelnen Komponenten	${}d((fg)dx_{I}\wedge dx_{J})$
	${}\,=\,$ Definition der äußeren Ableitung	${}\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial fg}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}$
	${}\,=\,$ Produktregel für Funktionen	${}\sum _{s=1}^{n}(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}})dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}$
	${}\,=\,$ Komponentenweise Addition von Differentialsummen und Aufspaltung in 2 Summen	${}\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}$
	${}\,=\,$ Linearität des Dachproduktes in der zweiten bzw dritten Komponente	${}\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}$
	${}\,=\,$ Definition der äußeren Ableitung von $fdx_{I}$, k-fache Vertauschung in der zweiten Summe	${}d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}$
	${}\,=\,$ Definition der äußeren Ableitung von $gdx_{J}$ in der zweiten Summe	${}d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J})$