Benutzer:Cschraed/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})$	${}\,=\,$ Definition von $\varphi *$	${}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))$
	${}\,=\,$ $T_{p}(\varphi )(e_{j1})=D\varphi (p)*e_{ji}$ ,mit $D\varphi (p)$ Funktionalmatrix und $D\varphi (p)*e_{j1}$ j1-te Spalte der Funktionalmatrix	${}f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})$
	${}\,=\,$ $d_{\varphi 1}\wedge ...\wedge d_{yk}$ ist multilinear und alternierend es gilt $(d_{y1}\wedge ...\wedge d_{yk})(e_{1},...,e_{n})=d_{y1}(e1)*...*d_{yn}(e_{n})=1*...*1=1\rightarrow$ Eindeutigkeit der Determinante	${}f(\varphi (P))\cdot \det \left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)_{1\leq i,\ell \leq k}$
	${}\,=\,$ $d_{yi}\left({\begin{array}{c}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n}\end{array}}\right)=x_{i}$	${}f(\varphi (P))\cdot \det \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)_{1\leq i,\ell \leq k}$

/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen