Benutzer:Frederike/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ Potenzgesetze	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ Induktionsvoraussetzung wird eingesetzt	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Distributivgesetze	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ a und b werden in die jeweilige Summe hineingezogen. Deshalb erhöht sich in der ersten Summe der Exponent von a um 1 und in der zweiten Summe der von b. Bei der rechten Summe wird außerdem ab=ba benutzt.	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ 1.Summe: Indexverschiebung von n nach n+1. Damit der Wert der Summe gleich bleibt wird k zu k-1. Für k=0 ist n über k-1 gleich null, da n über -1 gleich 0 laut Definition. 2.Summe: Ebenfalls Indexverschiebung von n nach n+1. Der Wert der Summe bleibt dabei gleich, weil n über n+1 laut Definition 0 ist.	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Zusammenfassen der Summen, weil beide von 0 bis n+1 laufen. Zusätzlich wird unter Verwendung der Distributivgesetze ausgeklammert.	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ "Rechenregel" für Binominalkoeffizienten. (Vgl. Zettel 12, Aufgabe 5)	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$