Fragenkatalog "Einführung in die Algebra" SoSe2010

Gruppen

1. Was ist eine Relation? Was ist eine Funktion?

Eine Relation ist eine Teilmenge vom Kartesischen Produkt AxA, für die gilt: (AxA = {(a,b)|a€A und b€B)

Eine Funktion ist eine Relation, bei der jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zugeordnet wird.

2. Was ist eine Äquivalenzrelation?

Eine Äquivalenrelation ist eine Relation, die reflexiv (aRa und bRb), symmetrisch (aRb => bRa) und transitiv (aRb und bRc => aRc) ist

3. Was ist eine Verknüpfung?

Oberbegriff für Rechenoperationen (+, *,...), die mathematische Objekte innerhalb einer Menge miteinander verbindet.

4. Was ist eine assoziative Verknüpfung?

Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Eine binäre Verknüpfung AxA --> A auf einer Menge A heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c in A gilt: a*(b*c) = (a*b)*c

5. Beispiele von nicht assoziativen Verknüpfungen?

"-" und ":" sind nicht-assoziative Verknüpfungen und sind somit keine richtigen Rechenarten.

6. Was ist eine Gruppe?

Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge G und einer Operation *, für die gilt:

(1) * ist assoziativ, (a*b)*c = a*(b*c)

(2) es existiert ein neutrales Element, a*e = e*a = a

(3) es existiert für jedes Element ein Inverses, a*a^-1 = a^-1 = e

(4) Abgeschlossenheit

a) betrachten Sie die Verknüpfung n#m = ggT(n,m) in N. Ist (N,#) eine Gruppe?

Nein, ist keine Gruppe. Es gibt kein neutrales Element. Deshalb auch keine Inversen. (N,#) ist eine Halbgruppe.

(Frage: Kann es sein, dass das neutrale Element bezüglich dieser Verknüpfung die "1" ist? Weil, fals das der Fall ist gibt es für alle Fälle in denen n und m teilerfremd sind eine Gruppe! Bin mir aber nicht sicher. Einfach streichen fals ich mich irre --> ggt(1,5) ist 1, wenn 1 neutrales wäre, müsste 5 herauskommen, da e*a=a*e=a

b) betrachten Sie die Verknüpfung n§m = Max(n,m) in N. Ist (N,§) ein Gruppe?

Ich schätze mal das soll einen Sortieralgorithmus darstellen, der beim Vergleichen zweier Zahlen n und m immer die größere (Max) ausspukt. Frage also wieder: "Was ist das neutrale Element und was sind die Inversen?" Das neutrale Element lässt sich in N vielleicht noch mit der "1" finden -> da Max(1,m) = m -> e=1. Juhu!. Leider fehlen uns wieder die inversen Ellemente in N für die gelten soll m§m^(-1) = e, e=1. Somit ist (N,§) wieder nur ne Halbgruppe allerdings mit neutralem Ellement!

7. Welche ist die kleinste Gruppe?

G= (e,*)e=neutrales Element

8. Was ist eine Untergruppe einer Gruppe?

(G,') ist eine Gruppe und U eine nichtleere Teilmenge von G. Dann ist (U,*) eine Untergruppe von (G,*), wenn

(1) Abgeschlossenheit: a€U und b€U => a*b € U

(2) es existiert für jedes Element ein Inverses: a € U => a^-1 € U

9. Was sind die Nebenklassen einer Untergruppe einer Gruppe?

Sei (U,*)kleiner gleich (G,*) und g in G. Das Bild von U unter der Translation Tg ist eine Nebenklasse von U.

Definition: Sei U kleiner gleich G mit (G,*) eine Gruppe. Eine Teilmenge A von G heißt Nebenklasse von U, genau dann wenn A=U*g {u*g|u in U} für ein g in G, R² (Ebene).

10. Die Nebenklassen einer Untergruppe sind Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation: welcher?

Nebenklassen sind verschobene Untergruppen --> Sie stehen durch Verschiebung/Translation in Relation zueinander.

11. Sind die Nebenklassen einer Untergruppe immer gleichmächtig? Begründen Sie Ihre Antwort.

JA!! Beweis von Lagrange anwenden.

12. Was besagt der Satz von Lagrange?

Die Mächtigkeit der Untergruppe teilt die Mächtigt der Gruppe.

13. Wie beweist man den Satz von Lagrange?

ein ganz "netter" Beweis findet sich unter [1]

14. Wie verwendet man den Satz von Lagrange um zu beweisen, dass es NUR 2 nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 4 gibt?

1.Gruppe ist zyklisch (es existiert ein Element mit Ordnung 4)

2.Gruppe nicht zyklisch (es existeren nur Elemente mit 1 und 2, wobei 1 trivale UG mit e)

3.Beweisen, dass alle drei ELemente (a,b,c) die Ordnung 2 besitzen. ZUm einen über die : Verknüpfungstafel kann es gezeigt werden, es git keine andere Andordnung. Ansonsten:

a*b=e-->geht auch nicht, denn sonst a*a^-1*b=e-->b=e -->Wid!!

a*b=b-->geht nicht sonst wäre a=n.Element

a*b=a-->geht nicht sonst b=n.Element

a*b=c-->

15. Wie viele Gruppen der Ordnung 5 gibt es? Und der Ordnung 7? Und der Ordnung 11? Begründen Sie Ihre Antwort.

Jeweils nur eine Gruppe, da die Ordnung Primzahlen sind-->nur zyklisch und kommutativ

16. Was ist das Haus der Vierecke? Welches ist das entsprechende Haus der Gruppen von Deckabbildungen?

Darstellung der Deckabbildungen der Vierecke

Die Untergruppen des Quadrats

Ein beispiel für Lagrange

Entsprechendes Haus: Quadrat

17. Ist die Kleinsche Vierergruppe isomorph zu einer Untergruppe der D4?

JA! -->Tipp: Überlegen Sie noch: Zu welcher? Und warum? - nur die Antwort ja wäre in einer Prüfung nicht ausreichend ;-)

Da die Deckabbildungen von D4 alle auch die Deckabbildungen des Rechtecks beeinhalten müssen. Da das Rechteck eine Untergruppe des D4's ist.

18. Welche ist die kleinste nicht zyklische, abelsche Gruppe?

V=Kleinsche Vierergruppe

19. Welche ist die kleinste nicht abelsche Gruppe

Die D3 ist die kleinste nicht-abelsche Gruppe? D3={id, s1, s2, s3, d120, d240} ???

Wir wissen: alle Gruppen, bei denen die Ordnung eine Primzahl ist, sind zyklisch. Alle Gruppen der Drehungen sind ebenfalls zyklisch. Und alle zyklischen Gruppen sind abelsch. Also scheiden Gruppen der Ordnung 1,2,3,5,7,… aus (Primzahlen), ebenso wie die Drehungen des Vierecks und des Sechsecks. Bliebe die Kleinsche Vierergruppe. Aber die ist abelsch (s.o.). Also noch die D3 (Ordnung 6) als kleinste nicht abelsche Gruppe.

20. Sind alle Gruppen der Ordnung <6 abelsch?

JA! siehe 19.

21. Können Sie diese Tabelle vervollständigen, so dass sie die Verknüpfung einer Gruppe der Ordnung 6 wiedergibt?

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a) Können Sie eine Untergruppe der Ordnung 2 der in 1. beschriebenen Gruppe angeben?

U1: = ({d360°,S1},*)

U2: = ({d360°,S2},*)

U3: = ({d360°,S3},*)

b) Können Sie eine Untergruppe der Ordnung 3 der in 1. beschriebenen Gruppe angeben?

U4: Delta3 = ({d360°,d120°,d240°},*)

c) Ist diese Gruppe kommutativ?

Nein! Ein Beispiel: d120° * S1 = S3 ABER S1 * d120° = S2 -> S3 ≠ S2

d) Kennen Sie eine Realisierung dieser Gruppe?

Die Deckabbildungen des Dreiecks (D3).

D3 = ({d360°,d120°,d240°,S1,S2,S3},*); o(D3)=3!=6

Diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe im Schaubild

Euler, Fermat und Co!

22. Welche sind die das multiplikativen Inversen von 2, von 4 und von 5 in ((Z/7) -{0}, ×) ? Und in ((Z/11) – {0}, ×)?

In ((Z/7) -{0}, ×)

Das multiplikative Inverse von 2 ist 4.

Das multiplikative Inverse von 4 ist 2.

Das multiplikative Inverse von 5 ist 3.

In ((Z/11) – {0}, ×)

Das multiplikative Inverse von 2 ist 6.

Das multiplikative Inverse von 4 ist 3.

Das multiplikative Inverse von 5 ist 9.

23. Was besagt der Satz von Euler über Primrestklassen?

Bezogen der Primrestklassen und der MUlitplikation, bildet die Gruppe eine kommutative GRuppe.

24. Wie beweist man, dass (Z/p –{0}, ×) eine Gruppe ist, für alle Primzahlen p in N?

Beweis EULER

25. Warum ist (Z/6 –{0}, ×) KEINE Gruppe?

Da, 6 keine Primzahl ist, es gibt nicht zu jeder Zahl ein INvereses und ist nicht abgeschlossen.

26. Ist die Gruppe (Z/7 –{0}, ×) zyklisch? Nennen Sie einen Erzeuger dieser Gruppe.

JA! (Z/p-{0],x) ist immer zyklisch, wenn p eine Primzahl ist. Erzeuger von (Z/7 –{0}, ×) sind: <3> und <5>

27. Wie beweist man den kleinen Satz von Fermat rein gruppentheoretisch?

28. Ist 1616-1 eine Primzahl? Ist 16^16-1 durch 17 teilbar? Ist 23^22-1 durch 23 teilbar?

16^16-1 ist keine Primzahl-->kann zerlegt werden in (16^8-1)(16^8+1)-->es gibt mehr tEiler als 1 und Zhal selbst

16^16-1 ist teilbar durch 17 (Fermat) und bei 23^22-1 auch durch 23 teilbar (fermat)Achtung! dies ist nicht durch 23 teilbar, da a soll nicht durch p teilbar sein!

Wir wissen: 16^16 = 1 mod 17

16^16 – 1 = 1 (mod 17) – 1

16^16 – 1 = 0 (mod 17)

Rest 0, also teilbar

Ringe und Körper

29. Was ist ein Ring?

Eine Menge R bezogen der beiden Operationen + und * ist Ring, wenn folgende Eigenschfaten gelten:

1)(R,+) ist komm.Gruppe.

2)(R,*) ist Halbgruppe.

3) Distributivgesetz gilt

30. Was ist ein Ring mit Einheit?

bezogen der * gibt es ein neutrales Element (1)

Nach meinem Verständnis ist ein Ring mit Einheit ein unitärer Ring (=Ring mit Einselement), der zu mindestens einem a aus R ein a^-1 aus R besitzt (-> siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Einheit_%28Mathematik%29). Gibt es zu jedem a aus R ein inverses, so ist es ein Körper. In (Z,+,*) gibt es nur die Einheiten 1 und -1.

31. Wie zeigt man -- in einem Ring mit Einheit 1 -- dass (-1)(-1) = 1?

Gleichung 1: (-1) * 0 = 0

Gleichung 2: (1+(-1)) = 0 | (2) in (1)

=>(-1) * (1+(-1)) = 0 | Ditributivgesetz anwenden wir befinden uns in einem Ring!

=>(-1)*(1)+(-1)*(-1) = 0 | (-1)*(1) = -1 da 1 das neutrale Elemet bez. * ist

-1 + 1 = 0 | Damit diese Gleichung simmt muss (-1)*(-1) = 1 sein!

32. Geben Sie Beispiele von endlichen und unendlichen Ringen mit Einheit.

Endlich:(Z/4,+,x), (Z/6,+,x), (Z/12,+,x),

Unendlich: (Z,+,x)

33. Gibt es in einem Ring mit Einheit Nullteiler?

JA! Bsp.: in (Z/6,+,*) sind [2] und [3] Nullteiler.

34. Was ist ein Körper? Eine Menge K bezogenen auf die beiden Operationen + und *, mit den folgenden Eigenschaften ist ein Körper:

1)(K,+) ist Gruppe

2)(K-(0),*) ist komm. Gruppe

3)Distributivgesetz

35. Geben Sie Beispiele von endlichen und unendlichen Körpern?

Endlich:(Z/2,+,x), (Z/3,+,x), (Z/13,+,x),

Unendlich: (R,+,x)

36. Gibt es in einem Körper Nullteiler?

NEIN!-->Da es Inverse gibt und wenn inventierbar keine Nullteiler sondern Nullprodukt--> a*b=0 wenn a oder b =0

Frage: Weshalb ist das so??

Wenn Es Nullteiler gäbe, würde man bezüglich der zweiten Verknüpfung die Abgeschlossenheit verlieren und damit die Struktur des Körpers zerstören, sodass wir wieder in einem Ring landen.

Bsp: (Z/7,+,*):

(Z/7,+) bildet bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe

(z/7,*) besitzt wenn man das 0-Ellement nicht extrahiert \{0} kein inverses für die 0. Außerdem ist der ggt(a,7)= 1 und 1 das Neutrale Ellement bezüglich der Mutlibplikation für alle Elemente a€N (das bedeutet a und 7 sind zwangsläufig Teilerfremd). Kurz gesagt es gibt einfach kein Ellement x ungleich 0 mit der Verknüpfung a*x = 0 und die 0 ist sowiso ausgeschlossen (Z/7-{0},*)!!!!

37. Welcher ist der algebraische Hintergrund der „Punkt vor Strich“ Regel? Gibt es keinen, ist so festgelegt worden, was man zuerst macht, um ein einheitliches Ergebnis zu garantieren. Außerdem würde sonst die Umformung 4 + 4 + 4 + 2 = 3 * 4 + 2 nicht funktionieren.

38. Welcher ist der algebraische Hintergrund des „Satzes des Nullproduktes“?

Rationale Zahlen und Brüche

39. Wie definiert man die rationalen Zahlen?

Q={(p,q)| q‡0; p,q € Z}

Die Menge aller Paare p und q aus ZxZ-{0], sdg. q ungleich 0 und p,q €Z.

40. Warum sind die rationalen Zahlen Äquivalenzklassen?

Q ist definiert als Menge von Paaren. Es gibt Paare, die zueinander äquivalent sind, zB. (p,q) ~ (r,s),

dann wenn p•s=q•r.

Bsp. von Äquivalenzklassen von (1,2): [(1,2)] = {(2,4), (3,6),...}

41. Warum sind die rationalen Zahlen Äquivalenzklassen von „Paaren“?

s.40 ?!?

41. Wie definiert man die Addition von Paaren?

[(p,q)] + [(r,s)] = [(ps + rq, qs)] [sog. Erweitern ?!]

Bsp: (1,3) + (2,7) = (1•7 + 3•2, 3•7) = (13,21)

42. Wie definiert man die Multiplikation von Paaren?

[(p,q)] • [(r,s)] = [(pr , qs)]

43. Welche Struktur haben die rationalen Zahlen, mit der Addition und der Multiplikation?

(Q,+,•) ist Körper !

44. Wie kann man die Multiplikation von Brüchen den Kindern erklären?

gelb: (4/5)

blau: (2/7)

grün: (8/35)

Erklärung: Multipliziert man (4/5)*(2/7) kann man in der geometrischen darstellung sehr schön sehen, dass sich daraus (8/35) ergeben. Bei der Multipikation handelt es sich somit um eine komponentenweise Multiplikation (Zähler * Zähler) und (Nenner * Nenner)!

45. Wie kann man die Division von Brüchen den Kindern erklären?

Dass das nicht einfach ist haben wir gestern ja gesehen: Trotzdem ein Versuch hier:

Man fängt natürlich bei leichten Rechungen an: 1: (1/2) --> da kann man sich das dann ja mit (1/2)l-Gläsern vorstellen.

Bei (1/2):4 kann man das auch noch gut darstellen.

Bei (3/4):(1/4) wird es dann schwerer. Da der Hauptnenner gleich ist kann man sich das wahrscheinlich auch noch vorstellen!?

Sehr kompliziert wird es dann bei(3/4):(1/5). Aber auch hier hilft der Hauptnenner: (15/20):(4/20). Da kann man dann ja schauen wie oft die 4 in die 15 passt bzw. 15:4 rechnen --> (15/4) --> (3_3/4)

Aber was ist wenn (1/5) : (3/4) ?

Bei gleichem Verfahren ergibt sich (4/20):(15/20) Wie oft geht jetzt die 15 in die 4?

Matrizen

46. Beschreiben Sie die zwei Operationen, die aus R2×2 einen Ring machen

Bezüglich der Addition und der Multiplikation ist (R,+,•) ein Ring, kein Körper!

Bzgl. + ist die Struktur eine kommutative Gruppe, bzgl. • ist (Ab) und (Ass) erfüllt. Außerdem gilt (Dis).

47. Geben Sie ein Beispiel eines unendlichen nicht-kommutativen Ringes mit Einheit. quadratische Matrizen

48. Warum ist R2×2 ein Ring aber kein Körper?

Die Multiplikation ist assoziativ, besitzt aber keine Inversen. Für einen Körper muss die Multiplikation eine kommutative Gruppe (ohne 0) sein.

1.) Es gibt nicht für alle R2x2-Matrizen ein Inverses bzgl. •, sondern nur für solche, wo die Determinante ‡ 0.

2.) R2x2 ist bzgl. • nicht kommutativ!

49. Geben Sie ein Beispiel von zwei Matrizen in R2×2, die nicht miteinander kommutieren.

{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}

•

{\begin{pmatrix}4&5\\2&3\end{pmatrix}}

50. Betrachten Sie die Matrix

{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}

= A

a) Berechnen Sie die 5. Potenz von A.

{\begin{pmatrix}1&10\\0&1\end{pmatrix}}

b) Welche ist die allgemeine Formel für die n-te Potenz von A?

{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}

51. Betrachten Sie D2×2 die Menge der Matrizen der Form

{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}

wobei a und b reelle Zahlen sind. Bildet diese Menge, für die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation einen Ring? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ja. Bzgl. + ist D2x2 eine kommutative Gruppe.

Ist bzgl. • die (Ass) gegeben?

${\begin{pmatrix}a1&0\\0&b1\end{pmatrix}}$ • ( ${\begin{pmatrix}a2&2\\0&b2\end{pmatrix}}$ • ${\begin{pmatrix}a3&0\\0&b3\end{pmatrix}}$ ) = ${\begin{pmatrix}a1&0\\0&b1\end{pmatrix}}$ • ${\begin{pmatrix}a2a3&0\\0&b2b3\end{pmatrix}}$