Benutzer:Johannes Kempf

Zyklus 3 - Niveau Universität

Zyklus 3 beschreibt, welche Faktoren auf den Tennisball während des Flugs einwirken.

Kräfte während des Tennisballflugs

Während diesem Flug wirken drei Kräfte auf den Ball ein: die Erdanziehungskraft, die Luftreibungskraft bzw. Luftwiderstandskraft und -sofern sich der Ball um eine Achse ungleich der Bewegungsrichtung dreht- die Kraft durch den Magnus-Effekt.

Die Erdanziehungskraft

Die Erdanziehungskraft, auch Gravitationskraft genannt, wirkt auf einen Gegenstand senkrecht zum Boden hin.

Formel: $F_{G}=m\cdot g$

wobei $m$ die Masse des Tennisballs und $g$ die Gravitationsbeschleunigung ist. Die daraus resultierende Gravitationsbeschleunigung wird in unserer Funktion f(x) s.o. bereits berücksichtigt. Diese ist in unsere Wurfparabel bereits berücksichtigt:

$f(x)={\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos {\alpha }^{2}}}x^{2}+\tan {\alpha }\cdot x+3,7$

Der Luftwiderstand

Die Richtung der Luftwiderstandskraft ist dabei immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des Tennisballes, ändert sich also ständig. Beschrieben werden kann der Betrag der Luftwiderstandskraft $F_{L}$ durch die Newton‘sche Widerstandsformel.

Nach dieser gilt: $F_{L}=1/2\cdot c_{w}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{2}$

wobei $c_{w}$ der Luftwiderstandswert des Tennisballs, $\rho$ die Dichte der Luft, $A$ die Querschnittsfläche des Tennisballs und $v$ der Betrag der Geschwindigkeit (= Tempo) ist.

Der Magnuseffekt

Als Magnus-Kraft wird die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung bezeichnet, die verantwortlich für die Bahnabweichung von Objekten ist, die um eine Achse senkrecht zur Bewegungsrichtung rotieren. Die Formel für den Magnuseffekt: $F_{M}=R\cdot \omega \cdot \rho \cdot A\cdot v$ wobei $R$ der Radius des Tennisballs, $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit, $\rho$ die Dichte der Luft, $A$ die Querschnittsfläche des Tennisballs und $v$ der Betrag der Geschwindigkeit (= Tempo) ist.

Diesen Faktor lassen wir in unserem Modell außer Acht. Lediglich weitere Überlegungen zu diesem Thema könnten sich mit dieser Thematik beschäftigen.

Differentialgleichung der Flugbahn mit Luftwiderstands

Idee und Ermittlung der einzelnen Geschwindigkeiten

Die auf eine Masse während der Bewegung wirkenden Kräfte sind in der nachfolgenden Skizze dargestellt. In Richtung der Koordinatenachsen gilt unter Berücksichtigung des Vorzeichens der Koordinaten.

$m\cdot a_{x}=-F_{Lx}$

$m\cdot a_{y}=-F_{Ly}-F_{G}$ bzw.

$m\cdot {dv_{x} \over dt}=-F_{L}\cdot cos(\alpha )$

$m\cdot {dv_{x} \over dt}=-F_{L}\cdot sin(\alpha )-F_{G}$

wobei gilt

$sin(\alpha )={\frac {v_{y}}{v}}$

$cos(\alpha )={\frac {v_{x}}{v}}$

Die Luftwiderstandskraft lässt sich wie folgt umschreiben:

$F_{L}=K\cdot v^{2}$

K ist Faktor des Luftwiderstandes und berechnet sich $K={C_{w}\cdot \rho \cdot A \over 2}$ ,

wobei $C_{w}$ der Luftwiderstandswert des Tennisballs, $\rho$ die Dichte der Luft, $A$ die Querschnittsfläche des Tennisballs.

Es ergibt sich für unseren Fall des Tennisballs $C_{w}=0,45$ , $\rho =1,2{kg \over m^{3}}$ , $A=0,00342m^{2}$

$K={0,45\cdot 1,2{kg \over m^{3}}\cdot 0,00342m^{2} \over 2}=9,23\cdot 10^{-4}{kg \over m}$

somit

$m\cdot {dv_{x} \over dt}=-K\cdot v^{2}\cdot {v_{x} \over v}=-K\cdot v\cdot v_{x}$ (1)

$m\cdot {dv_{y} \over dt}=-K\cdot v^{2}\cdot {v_{y} \over v}-m\cdot g=-K\cdot v\cdot v_{y}-m\cdot g$ (2)

Zunächst betrachten wir (1) wobei die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit t in Sekunden betrachtet wird, somit ergibt sich:

$m\cdot {d \over dt}\cdot v_{x}(t)=-K\cdot v(t)\cdot v_{x}(t)$ wobei $v(t)={\sqrt {(}}v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2})$

also $m\cdot {d \over dt}\cdot v_{x}(t)=-K\cdot {\sqrt {(}}v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2})\cdot v_{x}(t)$

Die Geschwindigkeit in x-Richtung beträgt nach einem Zeitschritt $t_{n}$ zu $t_{n+1}$ den wir als $\vartriangle t$ bezeichnen:

$v_{x}(t_{n+1})={(-K\cdot {\sqrt {(}}v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2})\cdot v_{x}(t_{n})\cdot \vartriangle t) \over m}+v_{x}(t_{n})$

In Gleichung (2)

$m\cdot {d \over dt}\cdot v_{y}(t)=-K\cdot v(t)\cdot v_{y}(t)-m\cdot g$ verwenden wir ebenso, dass $v(t)={\sqrt {(}}v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2})$

also $m\cdot {d \over dt}\cdot v_{y}(t)=-K\cdot {\sqrt {(}}v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2})\cdot v_{y}(t)-m\cdot g$

Die Geschwindigkeit in y-Richtung beträgt nach einem Zeitschritt $t_{n}$ zu $t_{n+1}$ den wir als $\vartriangle t$ bezeichnen:

$v_{y}(t_{n+1})={(-K\cdot {\sqrt {(}}v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2})\cdot v_{y}(t_{n})-g)\cdot \vartriangle t \over m}+v_{y}(t_{n})$

In Worten ausgedrückt berechnen wir die Geschwindigkeit in x- und y- Richtung nach jedem Zeitschritt $\vartriangle t$ , indem wir zu der Geschwindigkeitsänderung, die durch den Luftwiderstand und die Gravitationsbeschleunigung, welche lediglich in y-Richtung zu beachten ist, zustande kommt, die Geschwindigkeit vor diesem Zeitschritt hinzu addieren.

Die Gesamtgeschwindigkeit nach $\vartriangle t$ berechnet sich dann :

$v(t_{n+1})={\sqrt {(}}v_{x}(t_{n+1})^{2}+v_{y}(t_{n+1})^{2})$

In unserem Modell wählen wir $\vartriangle t$ = 0,01s (Sekunden).

Nun können wir nach jedem Intervall $\vartriangle t$ die neue (Gesamt-)Geschwindigkeit bestimmen, nachdem wir die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung ermittelt haben.

Ermittlung der zurückgelegten Wegstrecken und der Zeit bis zum Aufprall

Dies hilft uns dabei, dass wir nach jedem Zeitintervall bestimmen können, welche Strecke der Ball in x- und y-Richtung in dem jeweiligen Intervall und insgesamt bis zum jeweiligen Zeitpunkt zurückgelegt hat.

Aus $v={s \over t}$ ergibt sich für die x-Richtung $s_{x}(t_{n+1})=s_{x}(t_{n})+v_{x}(t)\cdot \vartriangle t$ und für die y-Richtung $s_{y}(t_{n+1})=s_{y}(t_{n})+v_{y}(t)\cdot \vartriangle t$

Diese Vorgänge wiederholen wir bis zu dem Zeitintervall, in dem die Strecke in y-Richtung den Betragswert der Höhe (y-Wert) des Aufschlagpunkts erreicht hat. Wir wissen also nun, in welchem Zeitintervall $[t_{i},t_{j}]$ der Ball den Boden berührt. Um einen genaueren Zeitwert zu erhalten (es kann ja sein, dass der Ball zu Beginn - oder erst ganz am Ende des Intervalls den Boden berührt), berechnen wir nun die Massenanteile, wodurch sich für die Zeit bis zum Boden die folgende Formel ergibt: $t_{Boden}=t_{i}+{\frac {s_{y}(t_{i})}{s_{y}(t_{i})-s_{y}(t_{j})}}\cdot 0,01$ mit

$t_{Boden}$ = Zeit bis zum Aufprall auf dem Boden
$t_{i}$ = untere Grenze unseres Zeitintervalls
$t_{j}$ = obere Grenze des Zeitintervalls
$s_{y}(t_{i})$ = zurückgelegte Strecke in y-Richtung (mit Einberechnung der Größe) zum Zeitpunkt $t_{i}$
$s_{y}(t_{j})$ = zurückgelegte Strecke in y-Richtung (mit Einberechnung der Größe) zum Zeitpunkt $t_{j}$

Insgesamt können wir nun bestimmen, welche Zeit bis zum Aufprall vergangen ist, welche Strecke in x- und y-Richtung zurückgelegt wurde und welche Geschwindigkeit der Ball zum Zeitpunkt des Auftreffens besitzt.

Konstruktion der Absprungbewegung

Es folgt die Konstruktion der Ballbewegung nach dem Absprung, nach demselben Prinzip wie oben. Die erforderlichen Werte erhalten wir nahezu alle aus der vorangegangen Bewegung. Es sollte noch erwähnt werden, dass wir davon ausgehen, dass der Ball durch Reibung beim Aufprall weitere 5% seiner Geschwindigkeit verliert, d.h. $v_{nachAufprall}=0,95\cdot v(t_{i})$ . Einzig die Ermittlung des neuen Winkels muss noch erfolgen, damit modelliert werden kann, wie sich die Gesamtgeschwindigkeit auf die x- und y-Komponente aufteilt.

Um den neuen Absprungwinkel herauszufinden gehen wir erneut davon aus, dass der Ball mit demselben Winkel abspringt, mit dem er auch aufgekommen ist, d.h $Auftreffwinkel\cong Absprungwinkel$ . Um den zugehörigen Auftreffwinkel zu ermitteln, lassen wir uns von GeoGebra den Winkel zwischen den Punkten $(s_{x}(t_{i})|s_{y}(t_{i}))$ , dem Auftreffpunkt, welcher sich zusammensetzt aus $(s_{x}(t_{i})+(t_{Boden}-t_{i})\cdot v_{x}(t_{i})|0)$ und einem Punkt auf der x-Achse, der immer vor dem Auftreffpunkt liegt, beispielsweise dem Standpunkt des Spielers $(0|0)$ , herausgeben.

Insgesamt sind nun alle Komponenten zur Konstruktion der zweiten Bewegung ermittelt worden und wir können unsere Berechnungen analog zu den oben bereits dargestellten führen.

Wir erhalten nun eine weitere Zeit $t_{Gegenspieler}$ . Die Gesamtzeit, die der Ball benötigt, um vom Schläger des aufschlagenden Spieler bis zum Gegenspieler zu gelangen, lässt sich dementsprechend durch $t_{Gesamt}=t_{Boden}+t_{Gegenspieler}$ berechnen. Gleichzeitig erhalten wir einen Wert für die Geschwindigkeit beim Gegenspieler, was sehr interessant im Bezug auf die Interpretation sein kann.