Benutzer:Mogoh/sandbox

5.7 Verdichtungskriterium von Cauchy

Sei $(a_{n})$ eine monoton fallende Nullfolge. Dann ist $\sum_{n = 0}^{\infty}$ genau dann (absolut) konvergent, wen $\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{m} a_{2 m}$ (absolut konvergent.

Beweis

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2^{n-1} a_{2^n} \le 2^{n-1} \cdot a_{2^n -1} \le \sum_{2^{n-1}}^{2^n-}a_k \le (2^n-1-2^{n-1}+1) a_{2^{n-1}} \le 2^{n-1}a_{2^{n-1}} \le 2^{n-1 a_{2^{n-1}} \vert \sum_{n=1}^N}

$\frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{N} 2^{n} a_{2^{n}} \leq \sum_{k = 1}^{2^{N} - 1} a_{k} \leq \sum_{n = 1}^{N} 2_{n - 1} a_{2}^{n - 1}$

hier fehlt etwas

Gezeigt Partialsummen von $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} u n d \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} a_{2^{n}}$

sind zugleich beschränkt oder undbeschränkt wzzw

gleichzeitige Divergenz bzw. Konvergenz

Beispiel:

$\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- r} (r \in ℚ, r > 1)$ konvergent

$a_{n} = n - r 2^{n} a_{2^{n}} = 2^{n} (2^{n} =^{- r} = (2^{n})^{1 - r} = (2^{1 - r})^{n}$

$2^{q - r} = : q = 2^{1 - r} < 1$

$\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} a_{2^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}$ konverkent

Bemerkungen

Leibniz/ Abel-Dirichlet

$a_{n} \to 0$ monoton

monoton ist wesentlich

Bsp: a_n =

0 \ \ \ \ n \text{ungrade} \frac[1}{n} \ \ \ n grade

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n divergent

Wurzel-/Quotientenkriterium

$\sqrt[n]{| a_{n} |} < 1$

für alle n \in \mathbb{N}. reicht nicht aus!

Beispiel

Majorantenkriterium

Beispiel: Binomische Reihe

$\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{α}{n}) q^{n}$

$(α \in ℝ o h n e ℕ_{0})$ ist konvergent für $| q | < 1$

{\alpha \choose n} = \frac{\alpha ( \alpha -1 ) (\alpha -2 ) ... ( \alpha -n +1 )}{n!}

hier fehlt etwas