Benutzer:Mogoh/sandbox

5.7 Verdichtungskriterium von Cauchy

Sei $(a_{n})$ eine monoton fallende Nullfolge. Dann ist $\sum _{n=0}^{\infty }$ genau dann (absolut) konvergent, wen $\sum _{n=0}^{\infty }2^{m}a_{2m}$ (absolut konvergent.

Beweis

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2^{n-1} a_{2^n} \le 2^{n-1} \cdot a_{2^n -1} \le \sum_{2^{n-1}}^{2^n-}a_k \le (2^n-1-2^{n-1}+1) a_{2^{n-1}} \le 2^{n-1}a_{2^{n-1}} \le 2^{n-1 a_{2^{n-1}} \vert \sum_{n=1}^N}

${\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}2^{n}a_{2^{n}}\leq \sum _{k=1}^{2^{N}-1}a_{k}\leq \sum _{n=1}^{N}2_{n-1}a_{2}^{n-1}$

hier fehlt etwas

Gezeigt Partialsummen von $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}und\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$

sind zugleich beschränkt oder undbeschränkt wzzw

gleichzeitige Divergenz bzw. Konvergenz

Beispiel:

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{-r}\ \ \ (r\in \mathbb {Q} ,r>1)$ konvergent

$a_{n}=n{-r}2^{n}a_{2^{n}}=2^{n}(2^{n}=^{-r}=(2^{n})^{1-r}=(2^{1-r})^{n}$

$2^{q-r}=:q=2^{1-r}<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$ konverkent

Bemerkungen

Leibniz/ Abel-Dirichlet

$a_{n}\rightarrow 0$ monoton

monoton ist wesentlich

Bsp: a_n =

0 \ \ \ \ n \text{ungrade} \frac[1}{n} \ \ \ n grade

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n divergent

Wurzel-/Quotientenkriterium

${\sqrt[{n}]{\vert a_{n}\vert }}<1$

für alle n \in \mathbb{N}. reicht nicht aus!

Beispiel

Majorantenkriterium

Beispiel

Binomische Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}q^{n}$

$(\alpha \in \mathbb {R} ohne\mathbb {N} _{0})$ ist konvergent für $\vert q\vert <1$

{\alpha \choose n} = \frac{\alpha ( \alpha -1 ) (\alpha -2 ) ... ( \alpha -n +1 )}{n!}

hier fehlt etwas