Benutzer:Mogoh/sandbox10

$f:(-r,r)\rightarrow \mathbb {R}$

$\cosh x=\underbrace {{\frac {1}{2}}(f8x)+f(-x)} _{gradeFkt.}+\underbrace {{\frac {1}{2}}(f(x)-f(x))} _{ungradeFkt.}$

Anmerkung: wofür steht FKt.?

5.5 Die hyperbolischen Funktionen

$\cosh x={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-}x)$ cosinus hyperbolicus $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}(x\in \mathbb {R} )$

$\sinh x={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-}x)$ sinus hyperbolicus $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}(x\in \mathbb {R} )$

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}$ tangens hyperbolicus ${\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}(x\in \mathbb {R} )$

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}$ cotangens hyperbolicus ${\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}(x\not =0)$

hier fehlt eine Zeichung

$(\cosh t)^{2}={\frac {1}{4}}(e^{t}+e^{-t})^{2}={\frac {1}{4}}(e^{2t}+2+e^{-2t})$

$(sinht)^{2}={\frac {1}{4}}(e^{t}+e^{-t})^{2}=={\frac {1}{4}}(e^{2t}-2+e^{-2t})$

$(\cosh t)^{2}-(\sinh t)^{2}=1$

$\lim _{x\rightarrow \infty }\coth x=1\lim _{x\rightarrow \infty }\tanh x$

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\coth x=-1\lim _{x\rightarrow -\infty }\tanh x$

hier fehlt etwas

5.6 Die komplexe Exponentialfunktion

$t\in \mathbb {R}$

$e^{it}:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}t^{2}m}{(2m)!}}+i\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{2m+1}}t^{2m+1}$

$i^{2m}=(-1)^{m},i^{2m+1}=i^{2m+1}=i(-1)^{m}$

5.7 Die trigonometrischen oder Kreisfunktionen

$\cos x=\sum _{}^{}$