§4 Potenzreihen

4.1 Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ heißt Potenzreihe (PR).

$a_{n}$ Koeffizienten,

$x_{0}$ Entwicklungsmittelpunkt

Konvergenz/ Divergenz

Wie würde man eine solche Reihe auf Konvergenz/ Divergenz überprüfen?

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}(x-x_{0})^{n}\right|}}$

$=\left|x-x_{0}\right|\limsup _{x\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}<1:$ Absolute Konvergenz

$=\left|x-x_{0}\right|\limsup _{x\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}>1:$ Divergenz

Formel von cauchy-Hadamard

r = \frac{1}{\limsup_{x \rightarrow \infty \sqrt[n]{\left| a_n \right|}} heißt Konvergenzradius der PR

= fallunterschreidung

0 falls \limsup_{x \rightarrow \infty \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \infty \infty falls \limsup_{x \rightarrow \infty \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = 0 positiv und endlcih sonst

4.2 Hauptsatz über Potenzreihen

Die Konvergenz ist gleichmäßig für \left| x-x_0 \right| \le \roh < r

(x_0 - r, x_0 + r) heißt auch Konverenzintervall

hier fehlt eine Zeichnung

Siehe auch

[1]

Beweis

Absolut Konvergent in \left| x - x_0 \right| < r, Divergent für \left| x - x_0 \right| > r

Gleichmäßige Konvergenz \left| x-x_0 \right| \le \roh < r

\sum_{n=0}^\infty \left| a_n \right| \roh^n konvergiert

\left a_n (x-x_0)^n \right| \le \left| a_n \right| \roh^n

Majorantenkriterium

\sum_{n=0}^\infty \left| a_n \right| \roh^n ist eine PR mit KR = r > \roh

Beispiele

(a) \sum_{n=1}^\infty \fra{x^n}{n} : r =1

hier fehlt eine Zeichnung

(b) \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} x^{3n} = 1 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{4}x^6 + ...

KR r = \frac{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[3n]{2^{-n}}}= \sqrt[3]{2}

x^3 = t: \sum_{n=0}^\infty 2^{-n}t^n KR 2, absolute Konvergenz für \vert t \vert < 2 das heißt \vert x \vert^3 < 2

\sum_{n=0}^\infty 2^{-n} x^{3n+1} = 1 + \frac{1}{2} x^{3+1} + \frac{1}{4}x^{6+1} + ... = x \sum_{n= 0}^\infty 2^{-n} x^{3n} r= \sqrt[3]{2}

(c)

\sum_{n=0}^\infty (6+(-1)^n)^n x^n

\limsup_{n \rightarrow \infty \sqrt[n]{(6+(-1)^n)^n} = \limsup_{n \rightarrow \infty} (6+(-1)^n) = 7 = \frac{1}{r}

r = \frac{1}{7}

4.3 Satz

gilt \lim_{n \rightarrow \infty } \left| \frac{a_n +1}{a_n} \right| = \frac{1}{\roh } , dann

Beweis

Beim Beweis des Quotentenkriteriumg gezeigt:

\frac{1}{r} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_n+1}{a_n} \right| = \frac{1}{\roh}

Beispiel

\sum_{n =0}^\infty {3n \choose n} x^n

\frac{ {38n+1) \choose n+1} }{ {3n \choose n} } = \frac{\frac{(3n+3)!}{(n+1)! (2n+2)!}}{\frac{(3n)!}{n!(2n)!} } = \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)(2n+1)(2n+2)} \rightarrow \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{27}{4} = \frac{1}{\roh} r = \frac{4}{27}

4.4 Stetigkeitssatz

Hat (*) einen KR r > 0, dann ist f(x9 = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n im Konvergenzintervall stetig [für r = \infty auf ganz \mathbb R ]

Beweis

a_n (x-x_0)^n stetig afu \mathbb R bei gleichmäßiger Konvergenz ist f stetig. Gleichmäßige Konvergenz in jedem [x_0 - \roh , x_0 + \roh ] \subsetq (x_0 - r, x_0 + r)

also stetigkeit in

\bigcup_{\roh < r} [x_0 - \roh , x_0 + \roh ] = (x_0 -r , x_0 +r)

insbesondere ist a_0 = f(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0 } f(x)

Anwendung: \lim_{x \rightarrow x_0 } \frac{f(x)}{g(x)} = L

f(x) = \sum_{k=m}^\infty a_k(x-x_0)^k g(x) = \sum_{k=m}^\infty b_k(x-x_0)^k

a_m \not= 0 KR > 0 b_n \not= 0

L = fallunterscheidung

0 m> n \frac{a_m}{b_m} m= n

\pm \infty M < n (existiert mein nicht, nur einseitig )

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x-x_0^m)}{(x-x_0)^n}

hier fehlt etwas ...

\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \pm \sum_{n=0}^\infty b_nx^n = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) x^n

KR \ge mn \{ r_a, r_b \} KR = min \{ r_a , r_b \}

falls r_a \not= r_b

Beweis

\sum _{n = 0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n ) x^n - \sum_{n= 0}^\infty b_n x^n

hier fehlt noch etwas

Beispiel

\sum_{n=0}^\infty \left( 5^{n(-1)^n}-2^n \right) x^n

= \sum_{n=0}^\infty 5^{n(-1)^n}x^n - \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n

= \sum_{m= 0}^\infty 5^{2m} x^{2m} + \sum_{m=0}^\infty 5^{-(2m+1)}x^{2m+1} - \sum_{n=0^\infty 2^nx^n

\min \{ \frac{1}{5} , 5 , \frac{1}{2} \} = \frac{1}{5} = r

4.5 Cauchyprodukt

\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n \cdot \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n

mit r_c \ge \min\{r_a , r_b\}

c_n = \sum_{k=0}^\infty a_k b_{n-}

Beweis

Absolute Konvergenz in \left| x-x_0 \right| < \min \{r_a, r_b \}

Cauchyprodukt

\sum_{n = 0 }^\infty \sum_{k=0}^n a_k (x-x_0 ) ^k b_{n-k} (x-x_0)^{n-k}

4.6 Identitätsatz

Glt \sum_{n=0}^\infty a_n (x- x_o )^n

= \sum_{n= 0}^\infty b_n (x-x_0)^n

für \left| x - x_0 \right| < \delta . Dann gilt a_n = b_n für alle n \in \mathbb N_0

Beweis

f = f-g: h(x) = \sum_{n?=0}^\infty c_n (x-x_0 )^n , c_n = a_n - B_n

h(x) = 0 in (x_0 - \delta , x_0 + \delta)

zu Zeigen:

alle c_n = 0

c_0 = h(x_0) = 0

sei gezeigt: c_0 = ... = c_{m-1} = 0

h(x) = \sum_{n=m}^\infty c_n(x-x_0 )^n = (x-x_0)^m \sum_{n=m }^\infty c_n (x-x_0)^{n-m} = (x-x_0)^m \sum_{k=0}^\infty c_{m+k} (x-x_0) k (x-x_0)^m \not= n für x \not= x_0 \sum_{k=0}^\infty c_{m+k} (x-x_0) k = 0 in 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta

c_m = \lim_{x \rightarrow x_0 } \tilde h(x) = 0

Beispiele

f(x) = \sum_{n=^0}^\infty a_n x^n mit KR r > 0

f heisst grade/ ungrade wenn f(-x) = f(x) für \vert x \vert < r f(-x) = -f(x) für \vert x \vert < r

\Leftrightarrow fallungerscheidung

a_{2n+1} = 0 für n = 0,1,2,... a_{2n} = 0 für n = 0,1,2,...

"\Rightarrow " f grade: f(x) - f(-x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n - (-1)^n a_n ) x^n

f(x) - f(-x) = 0 in (-r, r)

(a_n - (-1)^n a_n ) = 0 (n= 0,1,2,3 .. )

n = 2m : a_{2m} - (-1)^{2m} a_{2m} = 0 (keine Auss ?? )

n = 2m+1 : a_{2m+1} - (-1)^{2m+1} a_{2m+1} = 2a_{2m+1} =0

Fibonaccifolge

f_0 = 1 f_1 = 1 f_{n+1} = f_n + f_{n-1}

f8x) = \sum_{n=0}^\infty f_n x^n = ? Konvergenzradius ?

Behauptung: 0 < f_n \le 2^n

Hier fehtl etwas