1.6 Komposition von Funktionen

Sei $g:I\rightarrow J$ (Intervall)

und $f:J\rightarrow \mathbb {R}$ gegeben mit

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}=g(x)=y_{0}$ und $\lim _{y\rightarrow y_{0}}f(y)=c$

Dann hat $h(x)=f(g(x))$ den Grenzwert $\lim _{x\rightarrow x_{0}}h(x)=c$

Beweis: Sei $\epsilon >0$ , dazu existiert ein $\delta >0$ mit: $\vert g(x)-y_{0}\vert <\epsilon$; für $0<\vert x-x_{o}\vert <\delta ,x\in I$

Hier fehlt eine Zeichnung

Sei \epsilon > 0, dazu gibt es ein \delta > 0 mit \vert f(y) -c \vert < \epsilon für 0 < \vert y - y_0 \vert < \delta , y \in I

Zu \delta > 0 gibt es ein \sigma > 0 mit \vert g(x) - y_0 \vert < \delta für 0 < \vert x - x_0 \vert < \sigma x \in I

für 0 < \vert x-x_0 \vert < \sigma, x \in I:

\vert h(x) -c\vert = \vert f(y) -c \vert < \epsilon für 0 < \vert x- x_0 \vert < \sigma x \in I

1.7 Einseitige Grenzwerte

Bisher

Hier fehlt eine Zeichnung

f:I \backslash \{ x_0 \} \rightarrow \mathbb R

\lim_{x \rightarrow x_0-} f(x) = c bzw. \lim_{x \rightarrow x_0+} f(x) = c bedeutet: zu jedem \epsilon > 0 gibt es ein \delta > 0mit:

\vert f(x) - c \vert < \epsilon für x \in I mit x_0 - \delta < x < x_0 x_0 < x < x_0 + \delta

man schreibt auch f(x_0 +) =: \lim_{x \rightarrow x_0+} f(x)

1.8 Satz

\lim_{x \rightarrow x_0 } f(x) existiert genau dann, wenn f(x_0+) und f(x_0-) existieren und gleich sind.

Beispiel

f(x) = x[x] ([x] = größte ganze Zahl \ge x)

\lim_{x \rightarrow n-} f(x) = \lim_{x \rightarrow n-} (n-1)x = (n-1)n

n \in \mathbb Z

\lim_{x \rightarrow n+} f(x) = \lim_{x \rightarrow n+} nx = n^2

Hier fehlt eine Zeichnung

n \le x < n+1 : [x] = n

f(x) = n\cdot x

1.9 Monotone Funktionen

f : I \rightarrow \mathbb R heisst monoton wachsend / fallend, wenn aus x<y folgt f(x) \le f(y) \ge f(y)

kurz: f \uparrow bzw. f \downarrow

1.10 Satz

Monotone Funktionen haben überall einseitige Grenzwerte, es gibt \lim_{x \rightarrow x_0-} f(x) \le f(x_0)\le \lim{x \rightarrow x_0+} f(x) falls f \uparrow \lim_{x \rightarrow x_0-} f(x) \ge f(x_0)\ge \lim{x \rightarrow x_0+} f(x) falls f \downarrow

Beweis

f \downarrow und \lim{x \rightarrow x_0+} f(x)

Was ist \lim{x \rightarrow x_0+} f(x) = \sup \{ f(x): x_0 < x < b \}

zu zeigen

s = \sup \{ f(x) : x_0 < x < b \} zu \epsilon > 0 existiert \delta > 0 mit

\vert f(x) -s \vert < \epsilon für y_0 < x < x_0 + \delta

es existiert f(x_1) > s - \epsilon für ein x_1 \in (x_0 , b)

0 \le s - f(x_1) < \epsilon für x_0 < x < x_1 =: x_0 + \delta

\delta = x_1^-x_0 > 0

1.11 Erweiterungen

(a)

\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)

(b)

\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)

(c)

\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\pm \infty

(d)

\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\pm \infty

(e)

\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=\pm \infty

zum Beispiel

(a)

\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=c\in \mathbb {R}

das heißt zu \epsilon > 0 existiert K > 0 mit \vert f(x) - c \vert < \epsilon für alle x > K

(c)

\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\pm \infty

das heißt zu jedem K> 0 existiert \delta > 0 mit f(x) > K für alle x \in I mit 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta

Beispiel

f(x) = x \left( \sqrt{x^2 + 3} - \sqrt{x^2 - 2} \right) in (-\infty , -\sqrt{2})

\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} x \frac{(x^2 +3) - (x^2 -2)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2-2}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-5 \cdot (-x)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2-2}}

Anmerkung: \sqrt{x^2} = \vert x \vert = -x x < 0

\lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{-5}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}+ \sqrt{1 - \frac{2}{x^2}}} = - \frac{5}{2}

§ 2 Stetige Funktionen

Generell : I Intervall

f: I \rightarrow \mathbb R

2.1 Stetigkeit

$f$ heisst in $x_{0}\in I$ stetig, wenn $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

das heisst wenn es zu jedem \epsilon > 0 ein \delta > 0 gibt mit: \vert f(x) - f(x_0) \vert < \epsilon für alle x ßin I mit \vert x - x_0 \vert < \delta . f heisst stetig, wenn f in jedem x_0 \in I stetig ist

Schreibweise: f \in C (I) oder f \in C^0 (I)

C(I) = Menge aller stetigen Funktionen f : I \rightarro w\mathbb R

Beispiele

Polynome sind stetig auf \mathbb R rationale Funktion sind stetig in Intervallen wo \mathbb Q \not= 0 ist (R = P/Q) f(x) = \sqrt{x} stetig auf [0, \infty )

Sei 0 \ge x < y: 0 < \sqrt{y} - \sqrt{x} = \frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}} \le \frac{y-x}{\sqrt{y -x}} = \sqrt{y -x}

\epsilon > 0 \delta = \epsilon^2 \vert y - x \vert < \delta \Rightarrow \vert \sqrt{y} - \sqrt{x} \vert < \epsilon

2.2 Regeln für stetige Funktionen

Seien f,g: I \rightarrow \mathbb R stetig (in x_0 oder in I )

Dann sind auch f + g, (\labda \in \mathbb R ), fg, \vert f\vert stetig in x_0 oder ganz I. max \{ f,g \} \min \{ f,g \} f^+ = \mat \{ a,f \} f^- = \max \{ a,-f \}

z.B. (f+g)(x) = f(x) + g(x)

\vert f \vert (x) = \vert f(x) \vert, f^+ (x ) = \max \{ 0,f(x) \}

Beweis: Grenzwert von Funktionen

z.B. f^+ : zu \epsilon > 0 existiert \delta > 0 mit \vert f(x) - f(x_0) \vert < \epsilon für \vert x -x_0 \vert < \delta, x \in I

\vert f^+ (x) - f^+ (x_0) \vert fallunterscheidung: \vert f(x) - f(x) \vert (beide \ge 0 ) < \epsilon \vert f(x) - 0 \vert (f(x) \le 0, f(x) \ge 0 ) = f(x) \le f(x) - f(x_0) \le \vert f(x) - f(x_0) \vert < \epsilon \vert 0 - f(x) \vert (f(x_0) > 0 , f(x) \le 0 ) = f(x_0) \le f(x_0) - f(x) \le \vert f(x_0) - f(x) \vert < \epsilon \vert 0 - 0 \vert (beide < 0) < \epsilon

C(I) ist ein Vektorraum (linearer Raum) über \mathbb R

2.3 Komposition

Sei g: I \rightarrow J stetig in x_0 (in I ) und f: J \rightarrow \mathbb R stetig in y_0 = g(x_0) (in J) Dann ist f \circ g stetig in x_0 (in I)

Beweis

vergleiche Grenzwerte

f^+ (x) = \max \{ f8x) , 0 \} \max\{y,0\} = F(y)

2.4 Gleichmäsige Stetigkeit

f: I \rightarrow \mathbb R heisst gleichmäßige stetig, wenn es zu jedem \epsilon > 0 ein \delta > 0 gibt mit : \vert f(x) - f(y) \vert < \epsilon für alle x,y \in I mit \vert x-y \vert < \delta.

Beispiel

f(x) = \sqrt{x} (I = (0, \infty)) \vert \sqrt{x} - \sqrt{y} \vert < \epsilon für \vert x -y \vert y \epsilon^2 = \delta x,y > 0

f(x) = \frac{1}{x} in (0 , \infty )

\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| = \left| \frac{x_0 - x}{xx_0} \right| \le \frac{\vert x - x_0 \vert}{x_0^2} < \epsilon für \vert x-x_0 \vert < \delta = \epsilon x_0^2

\left| \frac{x_0 - x}{xx_0} \right| \le \frac{\vert x - x_0 \vert}{x_0^2} besser get es nicht

\delta = \epsilon x_0^2 ist optimal

nicht gleichmäßig stetig

2.5 Satz von Heine

Jede stetige Funktion f : [a,b] \rightarrow \mathbb R ist gleichmäßig stetig.

Beweis (indirekt)

Annahme: f ist nicht gleichmäßig stitig es Existiert \epsilon > 0 , so dass für alle \delta > 0, zum Beispiel \delta = \frac{1}{n} es x_n , y_n gibt mit \vert x_n - y_n \vert < \frac{1}{n}, aber \vert f (x_n) - f(y_n) \vert \ge \epsilon

(x_n) hat konvergente Teilfolge (Bolzano-Weierstrass ) x_{n_k} \rightarrow x_0 a \le x_0 \le b , das heißt x_0 \in [a,b]

y_{n_k} \rightarrow x_0 auch ! \left( \frac{1}{n_k} \rightarrow 0 \right)

\epsilon \le \vert f(x_{n_k }) - f(y_{n_k}) \vert \le .... hier fehlt noch etwas ....