§3 Gleichmässige Konvergenz

3.1 Funktionenfolgen

$f_{n}\cdot I\rightarrow \mathbb {R} (n\in \mathbb {N} )$

$(f_{n})$ Funktionen folge

(Abbildung $\mathbb {N} \rightarrow$ Menge aller funktionen $I\rightarrow R$ )

Die Folge $(f_{n})$ heißt

(i) punktweise konvergent, wenn für jedes

x\in I

die Zahlenfolge

(f_{n}(x))

konvergiert. Grenzfunktion

f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)

(ii) Gleichmäßig konvergent gegen

f:I\rightarrow \mathbb {R}

, wenn es zu jedem

\epsilon >0

ein

n_{0}\in \mathbb {N}

gibt mit

\vert f_{n}(x)-f(x)\vert <\epsilon

für alle

n\geq n_{0}

und alle

x\in I

Beispiel zu (i)

f_n(x) = x^n , I = [0,1]

\lim_{n \rightarrow \infty} f_n (x) = fallunterscheidung:

0 \le x < 1

1 x = 1 = f(x)

konvergenz nicht gleichmäßig: x_n = 1 - \frac{1}{n^2}, n \ge 2 x _n \in [0,1) \farc{1}{3} = \epsilon > (falsch für alle n) \vert f_n(x) - f(x) \vert = (1 - \frac{1}{n^2})^n \ge (Bernoulli) 1 - \frac{1}{n^2}n = 1 - \frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}

Beispiel zu (ii)

f_n (x) = (1-x) x^n in [0,1]

\lim_{n \rightarrow \infty} f_n (x) = f(x) = 0 (o \le x \le 1 )

Gleichmäßig konvergent:

\vert f_n - f(x) \vert = (1-x)x^n

(a) 0 \le x \le q < 1: \vert f_n (x) - f(x) \vert \le 1 \cdot q^n < \epsilon (n \ge n_0) (b) q < x \le 1 : \vert f_n (x) - f(x) \vert \le (1- q ) \cdot 1 (1- q ) \cdot 1 < \epsilon

\epsilon > 0 , 1 - \epsilon < q < 1 fest q^n \rightarrow 0 , d.h. q^n < \epsilon (n \ge n_0 )

3.2 Cauchykriterium

Damit (f_n) gleichmößig konvergent ist notwendig und hinreichend.

zu jedem \epsilon > 0 existiert n_0 \in \mathbb N mit (*) \vert f_n (x) - f_m(x) \vert < \epsilon für alle n > m \ge n_0 und alle x \in I

Beweis "\Rightarrow" (Aufgabe)

(*) \Rightarrow (f_n(x)) punktweise konvergent f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) (x \in I)

n\rightarrow \infty in (*)

\vert f(x) - f_m (x) \vert \le \epsilon (m \ge n_0 ) alle x \in I

3.3 funktionenreihen

\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) [f_n : I \rightarrow \mathbb R]

s_n (x) = \sum_{k=0}^n f_k (x)

Punktweise und gleichmäßige konvergenz über (S_n)

(i) Notwendig für die gleichmäßige konvergenz ist f_n 8x) \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) gleichmäßig in I

(ii) cauchykriterium:

\sum_{k=m+1}^n f_k (x) = s_n (x) - s_m (x)

zu jedem \epsilon > 0 exisitiert n_0 \in \mathbb N mit \vert \sum_{k=m+1}^n f_k (x) \vert < \epsilon (n > m \ge n_0 ) und alle x \in I

3.4 Majorantenkriterium

Gelte \vert f_k (x) \vert \le c_k für alle k \i \mathbb N_0 und alle x \in I und \sum_{k=0}^\infty c_k konvergiere. Dann ist

\sum_{k=0}^\infty f_k(x) gleichmässig konvergent auf I

Beweis:

\vert \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \vert \le \sum_{k=m+1}^n \vert f_k (x) \vert \vert f_k (x) \vert \le c_k

\le \sum_{k=m+1}^n c_k

Sei \epsilon > 0 , dazu n_0 mit \sum_{k=m+1}^n c_k < \epsilon

(n > m \ge n_0) c_k erfüllt

Beispiel \sum_{k=1}^\infty \frac{\Phi(x)}{x^2+k^2} (I = \mathbb R)

(a) \Phi 8x) = 1 \vert \frac{1}{x^2+k^2} \vert = \frac{1}{x^2+k^2} \le \frac{1}{k^2}

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} konvergent

(x) \Phi (x) = x \sum_{k=1}^\infty \frac{x}{x^2+k^2} konvergent , nich tgleichmäßig konvergent

c_k \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{x}{x^2+k^2} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{n^2+k^2} \ge n \frac{n}{n^2+(2n)^2} = \frac{1}{5}

c_k verletzt

(c) \Phi(x) = \sqrt{\vert x \vert}

\frac{\sqrt{\vert x \vert}}{x^2+k^2} \ge fallunterscheidung

\frac{1}{\vert x \vert^{3/2}} \le \frac{1}{k^{3/2}} \vert x \vert \ge k

\frac{\sqrt{\vert x \vert}}{k^2} \le \frac{1}{k^{3/2}} \vert x \vert < k

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}} konvergent

3.5 Majorantenkriterium für Funktionenfolgen

Gelte \vertf_{k+1} (x) - f_k 8x) \vert \le c_k

(k \in \mathbb N_0 , x \in I ) mit \sum_{k=0}^\infty c_k konvergiere

Dann ist (f_k) gleichmäßig konvergent

Beweis: f_n = f_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (f_{k+1} -f_k )

\sum_{k=0}^\infty (f_{k+1} - f_k ) konvergent gleichmäßig, also auch (f_n)

Beispiel

f_0 (x) = x auf I = [0,1]

f_n (x) = (1+2^{-n} x ) f_{n-1} (x)

= x (1+\frac{1}{2}x ) (1 + \frac{1}{4} x ) ... (1 + \frac{1}{2^n} x)

Falls \vert f_n 8x) \vert \le C (x \in [0,1 ] , n \in \mathbb N),

dann gleichmäßig konvergenz:

\vert f_{n+1} (x) - f_n(x) \vert = \vert 2^{-n-1} x \cdot f_n(x) \vert \le 2^{-n-1} \cdot 1 \cdot C

\sum_{n=0}^\infty c \cdot 2^{-n-1} konverten

\Rightarrow gleichmäßig konvergent

0 \le f_n(x) \le 1 (1+ \frac{1}{2} ) (1 + \frac{1}{4} ) ... (1 + \frac{1}{2^n}) \le

[(1+\frac{1}{k})^k \uparrow e \cdot 1 + \frac{1}{k} \le \sqrt[k]e = e^{\frac{1}{k}}]

\le e^{\frac{1}{2}} ... e^{\frac{1}{4}} --- e^{\frac{1}{2^n}}

= e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^n}} < e^1 = e \partial

3.6 Satz über die Vertauschbarkeit

Seien f_n : I \backslash \{x_0 \} \rightarrow \mathbb R gegeben und (f_n) sei gleichmäßig konvergent auf I \backslash \{ x_0\} und \lim_{x \rightarrow x_0 } f_n (x) = c_n

Dann gilt \lim_{x \rightarrow x_0} \lim_{n \rightarrow \infty} f_n (x) = \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim_{n \rightarrow \infty } \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x)

Beweis

fehlt leider

3.7 Satz über die Stetigkeit der Grenzfunktion

Es seien f_n : I \rightarrow \mathbb R stetig in x_0 \in I und es gelte f_n \rightarrow f gleichmäßig in I Dann ist f stetig in I

Beweis:

c_n = f_n (x_0) = \lim_{x ?rightarrow x_0 } f_n (x)

f stetig in x_0 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)

3.6 und 3.7 für Funktionenreihen:

Bei gleichmäßiger konvergenz von \sum_{k=0}^\infty f_k (x) in I \backslash \{ x_0 \} bzw. in I

gelten \lim_{x \rightarrow x_0 } \sum_{k=0}^\infty f_k (x) = \sum_{k= 0}^\infty \lim_{x \rightarrow x_0 } f_k (x)

bzw. \lim_{x \rightarrow x_0} \sum_{l=0}^\infty f_k(x) = \sum_{k=0\^\infty f_k (x_0)