Benutzer:Mogoh/sandbox8

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4.1 Potenzreihe[Bearbeiten]

heißt Potenzreihe. ist hierbei eine beliebige Folge, mit als Koeffizienten. wird als der Entwicklungsmittelpunktpunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Konvergenz/ Divergenz[Bearbeiten]

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

  • nur für , oder
  • auf einem offenen Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt (komplexe Ebene), das heißt im Inneren eines Kreises, des Konvergenzkreises, oder
  • auf ganz bzw. .


Wie würde man eine solche Reihe auf Konvergenz/ Divergenz überprüfen?

: Absolute Konvergenz

 : Divergenz

Formel von Cauchy-Hadamard[Bearbeiten]

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle ist die größte Zahl definiert, für welche die Potenzreihe für alle mit konvergiert. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

sofern dieser Limes existiert. Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

Die Potenzreihe ist absolut konvergent.
Die Potenzreihe ist divergent.
Dieser Fall ist für jedes jeweils separat zu untersuchen.


= fallunterschreidung

0 falls

\infty falls positiv und endlcih sonst