Benutzer:Mogoh/sandbox8

4.1 Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ heißt Potenzreihe. $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist hierbei eine beliebige Folge, mit $a_{n}$ als Koeffizienten. $x_{0}$ wird als der Entwicklungsmittelpunktpunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Konvergenz/ Divergenz

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

• nur für $x=x_{0}$, oder
• auf einem offenen Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt $x_{0}$ (komplexe Ebene), das heißt im Inneren eines Kreises, des Konvergenzkreises, oder
• auf ganz $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$.

Wie würde man eine solche Reihe auf Konvergenz/ Divergenz überprüfen?

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}(x-x_{0})^{n}\right|}}$

$=\left|x-x_{0}\right|\limsup _{x\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}<1$: Absolute Konvergenz

$=\left|x-x_{0}\right|\limsup _{x\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}>1$ : Divergenz

Formel von Cauchy-Hadamard

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle $x_{0}$ ist die größte Zahl $r$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit $|x-x_{0}|<r$ konvergiert. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle $x$ konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius $r$ mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}})}}.$

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,$

sofern dieser Limes existiert. Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

$|x-x_{0}|<r\Rightarrow$ Die Potenzreihe ist absolut konvergent.

$|x-x_{0}|>r\Rightarrow$ Die Potenzreihe ist divergent.

$|x-x_{0}|=r\Rightarrow$ Dieser Fall ist für jedes $x$ jeweils separat zu untersuchen.

= fallunterschreidung

0 falls $\limsup _{x\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}=\infty$

\infty falls $\limsup _{x\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}=0$ positiv und endlcih sonst