$f_{n+q}=f_{n}+f_{n-1}$

$f_{0}=f_{1}=1$

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}$ (Konvergenzradius $r\geq {\frac {1}{2}}$ )

4.8 Abelscher Grenzwertsatz[Bearbeiten]

Sei \sum_{n=0}^\infty a_n konvergent, sei f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n Dann gilt \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n

abelsche partielle Summation

\sum_{k=0}^n a_k x^k = s_n x^n + \sum_{k=0}^{n-1} s_k (x^k -x^{k+1} ) für -1 < x <1

= s_n x^n + (1-x) \sum_{k=0}^{n-1} s_k x^k

s_n \rightarrow (n \rightarrow \infty)

\sum_{k=0}^\infty a_k x^k = (1-x) \sum_k=0}^\infty s_k x^k

OBdA s= 0 (sonst a_0 -s anstelle a_0)

f(xx) = (1-x) \sum_{k=0}^\infty s_k x^k

S_k \rightarrow 0 : zu \epsilon > o existiert n_0 :

\vert s_k \vert < \epsilon (k> n_0 )

\vert s_k \vert \le L (k \le n_0 )

\vert f(x) \vert (1-x \left( \sum_{k=0}^{n_0} \vert s_k \vert \vert x \vert^k + \sum_{k = n_0 +1}^\infty \right)

hier fehlt noch etwas

§5 Die elementaren Funktionen[Bearbeiten]

\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} heißt Exponetialreihe Konvergenzradius r= \infty

Sie definiert die Exponentialfunktion \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

Sie ist stetig afu \mathbb R

(i) \exp(x+y) = \exp(x) \exp(y)

(ii) \exp(x) exp(-x) = 1

(iii) \exp(x) > 0 (x \in \mathbb R ) und \exp ist streng monoton wachsend

(iv) \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{\exp(x)}{x^m} = \infty (m \in \mathbb N )

\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{\exp(x)}{x^m} = 0 (m \in \mathbb N )

Fehlt leider