Benutzer:Stepri2005/Kurs:Numerische lineare Algebra/2 Normen für Vektoren, Matrizen, Unterräume und Sensitivität linearer Systeme

In diesem und den nächsten Kapiteln untersuchen wir die Lösung $x\in \mathbb {R} ^{n}$ linearer Gleichungssysteme $Ax=b$ mit $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ und $b\in \mathbb {R} ^{m}$. Diese Probleme besitzen genau dann eine Lösung, wenn $b\in {\mathcal {R}}(A)$. Diese ist genau dann eindeutig, wenn ${\mathcal {N}}(A)=\{0\}$.

Eine theoretisch vollständige Charakterisierung der Lösungsmenge von $Ax=b$ ist aus numerischen Gesichtspunkten nicht hinreichend. Die endliche Genauigkeit digitaler Rechner und Störungen der Eingabedaten erfordern eine veränderte Fragestellung:

a) Was bedingen geringfügige Störungen von $A$ und $b$ für die Lösung $x$?

b) Was impliziert die Aussage "$A$ ist nahezu rangdefizient"?

c) Wie kann für $b\notin {\mathcal {R}}(A)$ ein $x$ berechnet werden, so dass $Ax$ "nahe" an $b$ liegt?

Um diese quantitativen Fragen beantworten zu können, bedarf es einer genaueren Begriffsbildung für "kleine Störungen", "fast rangdefizient" und "Abstand" in Vektorräumen. Dazu führen wir Normen ein.