Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/Beispiel2

Man zeige, dass ${}n=2^{1}1-1=2047\,$ nicht prim ist.

Wir berechnen alle ${}v_{k},k=1,\ldots ,10\,$ aus:

${}v_{1}=4\,,v_{2}=4^{2}-2=14\,$,

${}v_{3}=14^{2}-2=194\equiv 8\,,v_{4}=194^{2}-2\equiv 788\,\,\,(mod\,\,2047)\,$,

${}v_{5}=788^{2}-2\equiv 701\,\,\,(mod\,\,2047)\,,v_{6}=701^{2}-2\equiv 119\,\,\,(mod\,\,2047)\,$,

${}v_{7}=119^{2}-2\equiv 1877\,\,\,(mod\,\,2047)\,,v_{8}=1877^{2}-2\equiv 240\,\,\,(mod\,\,2047)\,$,

${}v_{9}=240^{2}-2\equiv 282\,\,\,(mod\,\,2047)\,,v_{1}0=282^{2}-2\equiv 1736\,\,\,(mod\,\,2047)\,$.

D.h. ${}n\nshortmid v_{10}\,$ und nach verbessertem Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen folgt, dass die Zahl${}2047$ nicht prim ist. Und tatsächlich ${}2047=23\cdot 89$.