Benutzer:Theowoll/Levi-Civita-Symbol

Dies sind Erläuterungen zum Abschnitt Zusammenhang mit der Determinante im Wikipedia-Artikel Levi-Civita-Symbol.

Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A=\left(A_{ij}\right)$ kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

$\det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}\dots A_{ni_{n}}\;$.

Allgemeiner gilt der Zusammenhang

$\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}A_{j_{1}i_{1}}\dots A_{j_{n}i_{n}}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\det A\;$.

Herleitung dieser Gleichung:

Es ist $\det A=\det A^{T}$. Also gilt wegen $A_{ij}=(A^{T})_{ji}$ und nach Umbennung der Indizes $i_{1},\ldots ,i_{n}$ in $j_{1},\ldots ,j_{n}$:

$(1)\quad \det A=\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}A_{j_{1}1}A_{j_{2}2}\dots A_{j_{n}n}$

Durch Vertauschen der Faktoren erhält man

$(3)\quad A_{j_{1}1}A_{j_{2}2}\dots A_{j_{n}n}=A_{j_{i_{1}}i_{1}}A_{j_{i_{2}}i_{2}}\dots A_{j_{i_{n}}i_{n}}\;$.

Weiterhin gilt

$(4)\quad \varepsilon _{j_{i_{1}}j_{i_{2}}\dots j_{i_{n}}}=\varepsilon _{j_{i_{1}}j_{i_{2}}\dots j_{i_{n}}}\varepsilon _{12\dots n}=\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\;$,

denn in beiden Faktoren ist der Vorzeichenwechsel durch die Permutation der Indizes derselbe. Oder man verwendet, das das Signum $\operatorname {sgn} :S_{n}\rightarrow \{-1,1\}$ ein Homomorphismus von Gruppen ist:

$\operatorname {sgn}(j\circ i)=\operatorname {sgn}(j)\cdot \operatorname {sgn}(i)\;$.

(Man kann das Levi-Civita-Symbol als eine Abbildung $\varepsilon :\{i|i:\{1,\ldots ,n\}\rightarrow \{1,\ldots ,n\}\}\rightarrow \{-1,0,+1\}\subset \mathbb {R}$ auffassen.)

Multipliziere Gleichung (1) mit $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ und setze Gleichungen (3) und (4) ein. Ändere die Bezeichung der Summationsindizes $j_{i_{1}},\ldots ,j_{i_{n}}$ in $j_{1},\ldots ,j_{n}$, um die behauptete Gleichung zu erhalten. --Theowoll 12:58, 8. Okt. 2011 (CEST)