Benutzer:Treimer/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen
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Nach Potenzgesetzen:
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Einsetzen der Induktionsvoraussetzungen.(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}*b^{n-k}
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Distributivgesetz: (a+b)*k = (a*k) + (b*k)
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a und b werden in die Summen hereingezogen, nach Potenzgesetzen: Exponenten werden um 1 erhöht,
a^k * a = a^(k+1)
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1. Summe: Summe läuft bis n+1 statt bis n, aus diesem Grund wird k um 1 erniedrigt ( k -> k-1). Für k = 0 ist der Binominalkoeffizient gleich 0, da n über -1 = 0 (s. Def). Also ändert man nichts am Summenergebnis.
2. Summe: Summe läuft bis n+1 statt bis n. Für k = n+1 ist der Binominalkoeffizient gleich 0, da n über n+1 = 0 (s. Def). Also ändert man nichts am Summenergebnis.
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Da beide Summen von 0 bis n+1 laufen, kann man diese zu einer Summe zusammenfassen.
Außerdem stehen in beiden Summen der Term a^{k} b^{n+1-k}, dieser wurde ausgeklammert.
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Nach Definition (Siehe auch Aufgabe 5 von Blatt 12) lassen sich die Binomialkoeffizienten zusammenfassen.
(\binom {n} {k-1} + \binom {n} {k}) = \binom {n+1} {k}
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