Benutzer:Viviann/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ Potenzgesetze (vgl. Vorlesung 2 Lemma 2.(2))	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ Die Induktionsvorausetzung für (a+b)^n wird eingesetzt.	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Anwendung des Distributivgesetzes auf die Multiplikation mit (a+b).	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ Doppelte Anwendung des Distributivgesetzes und der Vertauschbarkeit von a und b.	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Erweiterung beider Summen auf n+1, indem beide Male 0 dazu addiert wird (n über k-1 mit k=0 und n über k mit k=n+1 ist laut der Definition (12.6) 0).	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Anwendung des Distributivgesetzes (ausklammern).	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ Rechenregeln für Binomialkoeffizienten (vgl. Aufgabe 12.5).	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$