Benutzer:Volha Baranouskaya/Bachelorarbeit/Kapitel/Anzahl der Darstellungen der Summe von Quadraten.tex

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\chapter{Anzahl der Darstellungen als Summe von Quadraten}
In den vorherigen drei Kapiteln haben wir die Darstellungen einer natürlichen Zahl als eine Summe 
von zwei, drei und vier Quadraten kennengelernt. In diesem Kapitel bestimmen wir die Anzahl 
der Darstellungen als Summe von zwei und vier Quadraten. Wegen des beschränkten Umfanges der 
Bachelorarbeit und des Schwierigkeitsgrades des Beweises für die Anzahl der Darstellungen der 
Summe von drei Quadraten wird die Anzahl der Darstellungen von drei Quadraten nicht betrachtet. \\

Es kann eine natürliche Zahl $n = x^2+y^2$ mit $\operatorname{ggT}(x,y) = 1$
oder $\operatorname{ggT}(x,y) \neq 1$ sein. Die Anzahl ihrer Darstellungen hängt stark von 
$\operatorname{ggT}(x,y)$ ab. Wir betrachten die Anzahl der Darstellungen von $n = x^2+y^2$ 
mit $\operatorname{ggT}(x,y) = 1$ im ersten Abschnitt und mit $\operatorname{ggT}(x,y) \ge 1$
im dritten Abschnitt des Kapitels. Im vierten Abschnitt wird der Satz über die Anzahl der 
Darstellungen für $n$ als Summe von vier Quadraten bewiesen.\\

In den meisten Beweisen der Anzahl der Darstellungen werden die Begriffe von 
zahlentheoretischen Funktionen, Charakter und Faltung, verwendet. Für das leichtere Verständnis
der Beweise geben wir einen kurzen Überblick über diese Begriffe im zweiten Abschnitt. \\


\section{Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe zweier Quadrate mit
teilerfremden  Summanden}

Wir fangen mit einem Hilfssatz an.\\
\begin{theorem}
 a) Es sei $n > 1$ und $4 \not | n $. Für alle Primfaktoren $p$ von $n$ gelte 
$p \not \equiv 3\textmd { mod } 4$ und es sei $s$ die Anzahl der ungeraden verschiedenen 
Primteiler von $n$. Dann hat die Kongruenz $t^2 \equiv -1\textmd { mod } n$ genau $2^s$ 
verschiedene Lösungen.\\
b) Es sei $n > 1$ und $t^2 \equiv -1 \textmd { mod } n$. Dann ist $n$ eindeutig in der 
Form $n = x^2 + y^2$ mit $(x,y) \in \mathbb{N}^2$, $\operatorname{ggT}(x,y)=1$ und 
$y \equiv tx \textmd { mod } n$ darstellbar.
\end{theorem}
\begin{proof}
a) Sei $n = 2$, dann gibt es nur eine Lösung der Kongruenz mit $t = 1$.\\
Für ein ungerades $n\in\mathbb{N}$ unterscheiden wir drei Fälle.\\

\underline{1. Fall } für  $n = p$, wobei $p \equiv 1 \textmd{ mod } 4$ eine Primzahl:\\
Sei $f(t) = t^2 + 1$ das Polynom  zweiten Grades. Dann kann die Polynomkongruenz 
$t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$ maximal 2 inkongruente Lösungen in $\mathbb{Z}/(p)$ 
haben [vgl. [9], Korollar 5.3.4]. Sei $t_0$ eine Lösung, dann ist $-t_0$ die zweite Lösung,
 so dass $ t \not\neq -t_0$. Sonst würde gelten
\begin{eqnarray}
t_0  \equiv  &  -t_0 \textmd{ mod } p  \nonumber\\
2t_0 \equiv  &   0 \textmd{ mod } p.  \nonumber
\end{eqnarray}
Wäre in diesem Fall $t_0 \not\neq 0$, dann wäre $2t_0 \not \equiv 0 \textmd{ mod } p$. 
Wäre $t_0 = 0$, dann wäre die Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$ unmöglich.\\
Also hat die Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$ entweder keine Lösung oder genau 2 Lösungen.\\
Im Beweis von Satz 1.13 haben wir gezeigt, dass die Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$ 
für $p \equiv 1 \textmd{ mod } 4$ lösbar ist. Dann hat sie genau 2 Lösungen.\\

\underline{2. Fall } für $n ={p}^{v}$ mit $p \equiv 1 \textmd{ mod } 4$ und $v \in\mathbb{N}$:\\
Wie man leicht sehen kann, hat die Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p^v$ in Analogie 
zur Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$  auch entweder keine Lösung oder genau 2 Lösungen. \\
Sei $-1$ aus $(\mathbb{Z}/(p^{v}))^{*}$. Die Restklassengruppe $(\mathbb{Z}/(p^{v}))^{*}$
ist zyklisch der Ordnung $p^{v-1}(p-1)$ und besitzt also ein Element $g$, das alle andere
Elemente in $(\mathbb{Z}/(p^{v}))^{*}$ erzeugt [vgl.[9], 6.2.3]. Sei
\begin{eqnarray}
(\mathbb{Z}/(p^{v})^{*} & \longrightarrow & (\mathbb{Z}/(p))^{*}
\end{eqnarray}
der kanonische Homomorphismus, der surjektiv ist [vgl.[1], Lemma 5.9]. Im Beweis von Satz 1.13
haben wir die wichtigen Eigenschaften der Einheitsgruppe $(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ genannt. 
Wir wenden sie hier an. Also sind die beiden Einheitsgruppen $(\mathbb{Z}/(p^{v}))^{*},
(\mathbb{Z}/(p))^{*} $ zyklisch, damit gilt, dass ein Erzeuger aus $(\mathbb{Z}/(p^{v}))^{*}$ 
durch dem Homomorphismus (4.1) auf einen Erzeuger aus $(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ abgebildet wird.
Wegen des Isomorphismus zwischen
\begin{eqnarray}
(\mathbb{Z}/(p^{v-1}(p-1)) \cong (\mathbb{Z}/(p^{v}))^{*} \hspace{2 mm} \textmd{ und } \hspace{2 mm}
(\mathbb{Z}/(p-1)) \cong (\mathbb{Z}/(p))^{*}  \nonumber
\end{eqnarray}
gilt, dass
\begin{eqnarray}
(\mathbb{Z}/(p^{v-1}(p-1)), +)  & \longrightarrow & (\mathbb{Z}/(p -1))^{*}, +),
\nonumber \\
                                j & \mapsto & i \nonumber
\end{eqnarray}
auch ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.\\
Die Existenz eines geraden $i\in\mathbb{Z}/(p-1)$, das dem quadratischen Rest 
$-1\in(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ zugeordnet ist [vgl. Beweis von Satz 1.13], folgt daraus,
dass ein gerades $j\in\mathbb{Z}/(p^{v-1}(p-1))$ existiert.\\
Die Elemente $p$ und $p-1$ sind teilerfremd, dann ist nach dem Chinesischen Restsatz
\begin{eqnarray}
\mathbb{Z}/(p^{v-1}(p-1)) \cong \mathbb{Z}/(p^{v-1}) \times \mathbb{Z}/(p-1),\nonumber
\end{eqnarray}
wobei $j = (j_1, j_2)$ ein Zahlenpaar mit $ j_1\in\mathbb{Z}/(p^{v-1})$ und 
$j_2\in\mathbb{Z}/(p-1)$ ist.\\
Es sei $j_2 = i$ und jede $i$ in $\mathbb{Z}/(p^{v-1})$ ist auch gerade. Da modulo der 
ungeraden Zahl $p^{v-1}$ jede Zahl ein Vielfaches von 2 ist, ist auch $j_1$ gerade und 
so muss insgesamt $j$ gerade sein [vgl.[1], Satz 6.5]. \\
Also  ist die Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p^{v}$ lösbar und hat genau 2 Lösungen.\\

\underline {3. Fall } für ein $n = \prod_{i=1}^{s} {p_i}^{v_i}$ mit verschiedenen 
$p_i\equiv 1\textmd{ mod } 4$ und $ s, v_i, i\in\mathbb{N}$:\\
Die Primfaktoren ${p_i}^{v_i},{p_j}^{v_j}$ mit $i \neq j$ sind paarweise teilerfremd.
Nach dem Chinesischen Restsatz besitzt ein Element
\begin{eqnarray}
t = (t_1, \ldots, t_s) \hspace{2 mm} \textmd{ aus }\hspace{2 mm} \mathbb{Z}/(n) \cong 
\mathbb{Z}/(p_1^{v_1}) \times \ldots \times \mathbb{Z}/(p_s^{v_s})\nonumber
\end{eqnarray}
die Eigenschaft, dass $t^2 \equiv -1\textmd{ mod } n$ genau dann gilt, wenn
\begin{eqnarray}
t_i^2 \equiv -1\textmd{ mod } p_i^{v_i}\nonumber
\end{eqnarray}
für alle $i= 1, \ldots, s\in\mathbb{N}$ gilt [vgl.[1], Satz 4.13].
Aus der Kombinatorik folgt, dass die Anzahl solcher $t$ gleich $2^s$ ist.\\
b) Sei $k = \lfloor\sqrt{n}\rfloor$. Nach dem Approximationssatz von {\sc Dirichlet\sc} [vgl.[12], 
Satz 1.10.27] gibt es für jedes $k\in\mathbb{N}$ natürliche Zahlen $a,b$ mit 
$\operatorname{ggT}(a,b) = 1$, so dass
\begin{eqnarray}
\Big{|}-\frac{t}{n} - \frac{a}{b}\Big{|}= \Big{|}\frac{tb + na}{nb}\Big{|} \le \frac{1}{b(k + 1)} ~ 
\textmd{mit} ~ b \le k \textmd{ gilt.} \nonumber
\end{eqnarray}
Dann
\begin{eqnarray}
\Big{|}\frac{tb + na}{nb}\Big{|} & \le & \frac{1}{b([\sqrt{n}] + 1)} \nonumber\\
                     & & \nonumber\\
   |tb + na|         & \le & \frac{|nb|}{b([\sqrt{n}]+ 1)} \nonumber\\
                        & & \nonumber\\
                     & \le & \frac{|n|}{[\sqrt{n}]+ 1}\nonumber\\
                                          & & \nonumber\\
                     &   < &  \sqrt{n} \hspace{3 mm}\textmd{ mit } \hspace{1 mm} b \le \sqrt{n}. 
\nonumber
\end{eqnarray}
Wie setzen $c= tb +na$, dann gilt
\begin{center}
$c\equiv tb \textmd { mod } n$ und $|c|< \sqrt{n}$.
\end{center}
Wegen $b \le \sqrt{n}$ und $|c|< \sqrt{n}$ gilt, dass $b^2 + c^2 < 2n$ ist.
Wegen $b^2\le n$ gilt weiter, dass $b^2 + c^2 \equiv b^2 + t^2 b^2 \equiv b^2(1 + t^2)\equiv 0 
\textmd { mod } n$ und daher $b^2 + c^2= n $ ist.\\
Es ist
\begin{eqnarray}
1 = \frac{b^2 + c^2}{n} & = & \frac{b^2 + t^2b^2 + 2tbna + n^2a^2}{n} \nonumber\\
                        & = & \frac{b^2(1 + t^2)}{n} + 2 t b a + na^2 \nonumber\\
                        & = & \Big(\frac{b(1 + t^2)}{n} + ta \Big)\cdot b + \underbrace{tba + na^2}_
{=a\cdot c}. \nonumber
\end{eqnarray}
Aus dieser Gleichung folgt $\operatorname{ggT}(b,c)=1$.
Wegen $n > 1$ und $\operatorname{ggT}(b,c)=1$ ist $c \neq 0$.
Ist $c > 0$, so setzen wir $x = b$ und  $y = c$, dann ist $y \equiv tx \textmd { mod } n$. 
Ist $c < 0$, so setzen wir $x = -c$ und $y = b$. Aus $b^2 + c^2 \equiv 0 \textmd { mod } n$ folgt
\begin{eqnarray}
         & b^2 \equiv & -t^2b^2 \textmd { mod } n \nonumber\\
y \equiv & b \equiv &  -t^2b \textmd { mod } n \nonumber\\
         & \equiv & -tc \textmd { mod } n \nonumber\\
         & \equiv & tx \textmd { mod } n. \nonumber
\end{eqnarray}
Jetzt beweisen wir die Eindeutigkeit der Lösung $(x,y) \in \mathbb{N}$.
Seien $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ zwei Lösungen. Dann ist
\begin{eqnarray}
n^2 = (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)& = & x_1^2x_2^2 + y_1^2y_2^2 + x_1^2y_2^2 + y_1^2x_2^2 \nonumber\\
                                   & = & {(x_1x_2 + y_1y_2)}^2 + {(x_1y_2 - y_1x_2)}^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Für jede Lösung $(x_i, y_i)$ gilt die Kongruenz $y_i \equiv tx_i \textmd { mod } n$ mit $i = 1,2$. 
Dann
\begin{eqnarray}
x_1x_2 + y_1y_2 \equiv x_1x_2 + t^{2} x_1x_2 \equiv x_1x_2(1 + t^2)\textmd { mod } n. \nonumber
\end{eqnarray}
Nach der Bedingung $t^2 \equiv -1 \textmd { mod } n$ gilt  $x_1x_2(1 + t^2) \equiv 0 \textmd { mod }
n$. Deshalb  ist $x_1x_2 + y_1y_2 =n\cdot m$ mit $m\in\mathbb{N}$. In der obigen Gleichung 
hat $x_1x_2 + y_1y_2$ die Potenz $2$ und diese Gleichung ist nur dann gültig, wenn $m = 1$ und
${(x_1y_2 - y_1x_2)}^2 = 0$ ist.
Weiter gilt
\begin{eqnarray}
x_1 \cdot n & = & x_1(\underbrace{x_1x_2 + y_1y_2}_{n}) - y_1(\underbrace{x_1y_2 - y_1x_2}_{=0}) 
\nonumber\\
            & = & x_1^2x_2 + y_1y_2x_1 -  y_1y_2x_1 + y_1^2x_2 \nonumber\\
            & = & x_2(x_1^2 +y_1^2) \nonumber\\
            & = & x_2\cdot n \nonumber
\end{eqnarray}
Also ist $x_1 = x_2$ und $y_1 = y_2$.
\end{proof}
In diesem Abschnitt interessieren wir uns für die natürlichen Zahlen $n = x^2 + y^2$ mit 
$\operatorname{ggT}(x, y) = 1$. Mit den zwei folgenden Lemmata zeigen wir, welche 
natürlichen Zahlen genau diese Bedingung erfüllen.\\
\begin{lemma}
Sei $n$ eine natürliche Zahl, die durch $4$ teilbar ist, und  $n = x^2 + y^2$ mit $x, 
y\in\mathbb{N}$. Dann sind $x, y$ gerade und insbesondere gilt $\operatorname{ggT}(x, y) \neq 1$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Es sei $n = 4k$ mit $k\in\mathbb{N}$ und sei $n = x^2 + y^2$.
Wäre $x = 2u +1$ und $y = 2v+1$ mit $u, v\in\mathbb{N}$, dann würde gelten
\begin{center}
$x^2 +y^2 = 4u^2 +2u + 4v^2 + 2v + 2$ und $4\not| x^2 +y^2$.
\end{center}
Deswegen müssen $x, y$ gerade sein.
\end{proof}
\begin{lemma}
Sei $n$ eine natürliche Zahl in der Form $n = a^2b = x^2 + y^2$, wobei $a, b\in\mathbb{N}$,
$a$ das Produkt von Primfaktoren $q \equiv 3 \textmd{ mod } 4$ ist. Es sei $b$ das 
Produkt von Primfaktoren $p\equiv 1, 2\textmd{ mod } 4$, die alle einfach vorkommen mögen.\\
a) Für $a > 1$ gilt, dass $\operatorname{ggT}(x,y)\neq 1$.\\
b) Für $a = 1$ gilt, dass $\operatorname{ggT}(x,y)= 1$.\\
\end{lemma}
\begin{proof}
a) Sei $n= a^2b = x^2 + y^2$ eine natürliche Zahl mit $x, y, a, b\in\mathbb{N}$. Sei weiter\\
\begin{center}
$n =(\underbrace{q_1^{2} \cdot \ldots \cdot q_r^{2}}_{a^2}) \cdot \underbrace{2^{v} \cdot 
(p_1 \cdot \ldots \cdot p_s}_{b})$
\end{center}
mit $q_{i} \equiv 3 \textmd{ mod } 4, p_{j} \equiv 1 \textmd{ mod } 4$ und $v= 0, 1$
mit $v, r, s\in\mathbb{N}$.\\
Gemäß Satz 1.9 ist $q_i$ eine Gaußsche Primzahl und $2$ und  $p_j$ sind die Normen \\
\begin{eqnarray}
 p_j = N(p_j^{'}),  \hspace{2 mm} \textmd{ und } \hspace{1 mm} 2= N(1 +i),  \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $p_j^{'}$ und $1+i$ Gaußsche Primzahlen für alle $j = 1, \ldots, s$ sind.
Dann hat die Zahl $n$ in $\mathbb{Z}[i]$ eine eindeutige Primfaktorzerlegung
\begin{eqnarray}
n = (q_1 q_1 \cdot \ldots \cdot q_r q_r)(1+i)^{v}(1-i)^{v}(p_1^{'} \overline{p_1^{'}} 
\cdot \ldots \cdot p_s^{'} \overline{p_s^{'}}).
\end{eqnarray}
Für jedes $q_m \equiv 3 \textmd{ mod } 4$ gilt auch
\begin{eqnarray}
q_m^2 \equiv 1\textmd{ mod } 4 \hspace{1 mm}\textmd{ und } \hspace{1 mm} q_m^2 = N(q_m),\nonumber
\end{eqnarray}
weil $q_m = \overline{q_m}$ in $\mathbb{Z}[i]$
für alle $m =1, \ldots, r$ ist. Wir schreiben
\begin{eqnarray}
n = x^2 +y^2 =(x +iy)(x -iy)\textmd{ mit } (x \pm iy)\in\mathbb{Z}[i].
\end{eqnarray}
a) Sei $a > 1$, dann gibt es ein $q_m= q$. Nach der Primfaktorzerlegung (4.2) gilt
\begin{eqnarray}
q|(x + iy) \hspace{2 mm} \textmd{ und } \hspace{2 mm} q|(x - iy). \nonumber
\end{eqnarray}
 Wegen der Summation gilt \\
\begin{eqnarray}
2 q & | & (x + iy)+ (x -iy) \nonumber\\
2 q & | & 2  x \nonumber\\
q & | & x. \nonumber
\end{eqnarray}
Wie wir sehen $q$ teilt die Zahlen $x$ und $y$. Somit ist $\operatorname{ggT}(x, y)\neq 1$.\\
b) Sei $a = 1$, dann ist
\begin{eqnarray}
 n = x^2+y^2 = 2^{v}\cdot p_1 \cdot ... \cdot p_s, \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $p_j \equiv 1\bmod 4$ mit $j = 1, \ldots, s\in\mathbb{N}$ und $v = 0,1$.
Wenn $\operatorname{ggT}(x,y) = d > 1$ wäre, dann gelte $d^2|n$, was nicht sein kann, da alle 
Primfaktoren einfach vorkommen.
\end{proof}
Jetzt möchten wir die Anzahl der Darstellungen für eine natürliche Zahl $n= x^2+y^2$ mit 
$\operatorname{ggT}(x,y) =1$ berechnen.
Mit $R_2(n)$ bezeichnen  wir die Anzahl der Zahlenpaare $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$ mit 
$n = x^2+y^2$ und mit $\operatorname{ggT}(x,y) =1$.\\

\begin{theorem}
Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $4\not|n$. Weiter sei $n$ durch keine Primzahl 
$q\equiv 3\bmod 4$ teilbar und sei $s$ die Anzahl der ungeraden verschiedenen Primteiler von $n$,
die alle einfach vorkommen mögen. Dann ist $R_2(n) = 2^{s+2}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $n = 1= (\pm 1)^{2} + 0$. Dann ist $R_2(1) = 4$.
Sei $n = 2 = (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2}$, dann ist $R_2(2) = 4$.
Sei $n$ eine natürliche Zahl großer $2$, die keine Primfaktoren $q \equiv 3 \bmod 4$ hat. 
Dann ist gemäß Satz 1.15 dieses $n$ eine Summe von zwei Quadraten. Es seien die ungeraden
Primfaktoren verschieden. Es sei
\begin{center}
 $n = 2^{a}\cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_s = ((\pm 1)^2 +(\pm 1)^2)^{a}(x^2 + y^2)$,
 \end{center}
wobei $p_i \equiv 1 \bmod 4$ für alle $a, i = 1, \ldots, s \in\mathbb{N}$ und 
$x, y \in\mathbb{Z}$.\\
Die Zahl $n$ ist nicht durch 4 teilbar, deswegen ist der Exponent $a$ entweder 0 oder 1 
und in beiden Fällen gilt
\begin{center}
 $n = ((\pm 1)^2 +(\pm 1)^2)^{a}(x^2 + y^2) = x^2 + y^2$.
 \end{center}
Gemäß Lemma 4.3(b) gilt $\operatorname{ggT}(x,y) = 1$.
Dann ist $R_2(n)$ das Vierfache der Anzahl der Lösungspaare $(x,y)\in\mathbb{N}^2$ 
mit $x^2 +y^2 = n$ und $\operatorname{ggT}(x,y) = 1$. Jedes solches Paar bestimmt eindeutig
ein $t$ modulo $n$ mit $y\equiv tx \bmod n$. Es ist daher auch $x$ und $n$ teilerfremd.
\begin{eqnarray}
x^2 + y^2 & \equiv &  x^2 + t^2 x^2 \bmod n \nonumber \\
          & \equiv &  x^2(1 + t^2) \equiv 0 \bmod n.   \nonumber
\end{eqnarray}
Dann ist $t^2 \equiv -1 \bmod n$. Gemäß Satz 4.1(a) ist die Anzahl der Lösungen der Kongruenz 
$t^2 \equiv -1 \bmod n$ gleich $2^s$. Wir bezeichnen diese Anzahl der Lösungen mit 
$\varrho(n)$.\\
Umgekehrt sei $t^2 \equiv -1 \bmod n$. Nach Satz 4.1.(b) existiert zu jedem $t$ genau 
ein Paar $(x,y)\in\mathbb{N}^2$ mit $\operatorname{ggT}(x,y) = 1$ und $ y \equiv tx \bmod n$ 
und $n = x^2 + y^2$. Also ist $R_2(n)= 4\varrho(n) = 4\cdot 2^s = 2^{s+2}$.
\end{proof}
\section{Zahlentheoretische Funktionen, Charaktere und Faltung als Hilfsmittel}

In diesem Abschnitt geben wir einen kurzen Überblick über die zahlentheoretischen Funktionen,
die Charaktere und die Faltung. Diese Begriffe und ihre Eigenschaften sind in Verbindung 
mit anderen Begriffen der Zahlentheorie ein wichtiges Hilfsmittel für die Beweise des Kapitels.\\
\subsection*{Zahlentheoretische Funktionen}
Eine Abbildung
\begin{center}
$f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{C}$
\end{center}
heißt eine \textit{zahlentheoretische Funktion} [vgl.[2], 1.§ 4.1]. \\
Die Werte von vielen zahlentheoretischen Funktionen liegen in $\mathbb{Z}$ oder in $\mathbb{N}$.
Als Beispiel zahlentheoretischer Funktionen können bekannte Funktionen genannt werden:
\begin{eqnarray}
\tau(n)  & \textmd{ Anzahl der Teiler von $n$, } &  \tau(n)= \sum_{d|n}^{} 1, \nonumber\\
\sigma(n) & \textmd{ Summe der Teiler von $n$, }  & \sigma(n) = \sum_{d|n}^{} d, \nonumber\\
\varphi(n) & \textmd{ Anzahl der primen Restklassen modulo $n$,} & \textmd{Euler-Funktion}\nonumber
\end{eqnarray}
wobei $d$ die Teiler von $n$ sind [vgl.[12], V.1].
In den zwei nächsten Abschnitten des Kapitels werden außer den oben genannten noch andere 
zahlentheoretischen Funktionen verwendet, z.B. \\

a) $\alpha(n)$ beschreibt, ob die Zahl $n$ eine Quadratzahl ist. Es ist
\begin{eqnarray}
\alpha(n) =\begin{cases}
1, \textmd{ wenn $n$ Quadratzahl ist,} \cr
0 \textmd{ sonst.}
\end{cases} \nonumber
\end{eqnarray}
b) $\iota(n) = 1$ für alle $n\in\mathbb{N}$.\\

c) $\lambda(n \bmod m)$ Restklassencharakter modulo $m$, der später definiert wird.\\

Jetzt definieren wir zwei Eigenschaften von zahlentheoretischen Funktionen, die uns besonders
wichtig sind.\\

Eine zahlentheoretische Funktion $f$ heißt \textit{(schwach)  additiv,} wenn
\begin{eqnarray}
f(nm) = f(n)+ f(m) \textmd{ für alle $n, m \in\mathbb{N}$ mit } \operatorname{ggT}(n, m)= 1
\end{eqnarray}
gilt. Gilt (4.4) ohne Beschränkung, so heißt $f$ \textit{stark additiv.}\\

Eine zahlentheoretische Funktion $f$ heißt \textit{(schwach)  multiplikativ,} wenn
\begin{eqnarray}
f(nm) = f(n)\cdot f(m) \textmd{ für alle $n, m \in\mathbb{N}$ mit } \operatorname{ggT}(n, m)= 1
\end{eqnarray}
gilt. Hat (4.5) keine Beschränkung, dann heißt $f$ \textit{stark multiplikativ} 
[vgl.[2], 1. § 4.2]\\
\subsection*{Charaktere}
Es sei $(\mathbb{Z}/(m))^*$ die prime Restklassengruppe modulo $m$. Diese Gruppe ist 
eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung $\varphi(m)$, wobei $\varphi(m)$ 
die Euler-Funktion ist. Ein Gruppenhomomorphismus
\begin{center}
$\chi: (\mathbb{Z}/(m))^{*} \longrightarrow \mathbb{C}^{*},$
\end{center}
wobei $\mathbb{C}^{*}$ die komplexe Einheitsgruppe ist, heißt \textit{Charakter.} \\

Wie wir sehen, ist ein Charakter für eine prime Restklasse der Einheitsgruppe 
$(\mathbb{Z}/(m))^{*}$ erklärt. Die Menge der Charaktere bilden eine multiplikative 
abelsche Gruppe, die zur Gruppe $(\mathbb{Z}/(m))^*$ isomorph ist [vgl.[6], 3.3]. Diese 
Charaktere erweitern wir zu einem \textit{Restklassencharakter modulo $m$} für alle 
$n\in\mathbb{Z}$ durch
\begin{eqnarray}
\chi(n) =
\begin{cases}
\chi(n \bmod  m)  \hspace{2 mm} \textmd{ falls }  \operatorname{ggT}(n,m)= 1 \cr
0  \hspace{22 mm}   \textmd{ falls }  \operatorname{ggT}(n,m) > 1.
\end{cases}\nonumber
\end{eqnarray}
Das Legendre-Symbol $(\frac{a}{p})$ mit $ a\in\mathbb{Z}$ und Primzahl $p$ ordnet sich 
dem Begriff des Restklassencharakters unter, wenn man $(\frac{a}{p})= 0$ für 
$\operatorname{ggT}(a,p) > 1$ setzt und $(\frac{a}{p})\in \{-1, 0, 1\}\subseteq \mathbb{C}^*$ 
auffasst.\\
Wegen der Ordnung der Gruppe $(\mathbb{Z}/(m))^*$ gilt, dass es  $\varphi(m)$ 
Restklassencharaktere modulo $m$ gibt.  Es besteht die Relation für alle Restklassencharaktere 
modulo $m$
\begin{eqnarray}
\sum_{\chi}^{} \chi(n) =
\begin{cases}
\varphi(m) \hspace{2 mm}\textmd{ für } n\equiv 1 \bmod m \cr
0  \hspace{10 mm}   \textmd{ für }  n \not\equiv 1 \bmod m.
\end{cases} \nonumber
\end{eqnarray}


\subsection*{Faltung}
Es seien $f$ und $g$ zwei zahlentheoretischen Funktionen. Außer den gewöhnlichen Verknüpfungen
$\cdot$ und $+$ für die zahlentheoretischen Funktionen ist die Verknüpfung $\ast$ von 
größter Bedeutung. Sie wird folgendermaßen definiert
\begin{eqnarray}
(f \ast g)(n):= \sum_{d|n}^{}f(d)g\Big(\frac{n}{d}\Big). \nonumber
\end{eqnarray}
Dabei bedeutet die Bedingung $d|n$ stets, dass über alle positiven Teiler $d$ von $n$ 
zu summieren ist. Das Produkt $f\ast  g$ heißt \textit{ Faltung } [vgl.[2], § 4.6.(1)].
\begin{theorem}
Seien $f(n)$ und $g(n)$ multiplikative zahlentheoretische Funktionen, dann ist die Faltung 
$f \ast g$ auch multiplikativ.
\end{theorem}
\begin{proof}
Seien $n = n_{1}\cdot n_{2}\in\mathbb{N}$ mit $\operatorname{ggT}(n_1, n_2) = 1$. Dann gilt
\begin{eqnarray}
(f \ast g)(n_{1} n_{2})= \sum_{t|n_{1} n_{2}}^{}f(t)g\Big(\frac{n_{1} n_{2}}{t}\Big), \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $t\in\mathbb{N}$ die Teiler von $n$ sind.
Wegen der Teilerfremdheit kann jedes $t = t_{1}\cdot t_{2}$ so zerlegt werden, dass $t_1$ 
ein Teiler von $n_1$ und $t_2$ ein Teiler von $n_2$ mit $\operatorname{ggT}(t_1, t_2) = 1$ ist.
Wegen der Multiplikativität der zahlentheoretischen Funktionen $f$ und $g$ gilt
\begin{eqnarray}
(f \ast g)(n_{1} n_{2})& = & \sum_{t_{1}|n_1}^{} \sum_{t_{2}|n_2}^{} f(t_1)f(t_2)\cdot 
g\Big(\frac{n_1}{t_1}\Big)g\Big(\frac{n_2}{t_2}\Big) \nonumber\\
                        & = & \sum_{t_{1}|n_1}^{} f(t_1)g\Big(\frac{n_1}{t_1}\Big) \cdot  
\sum_{t_{2}|n_2}^{} f(t_2)g\Big(\frac{n_2}{t_2}\Big)\nonumber\\
                        & = & (f \ast g)(n_{1})\cdot (f \ast g)(n_{2}) \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}
Man beachte, dass bei stark multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen die Faltung
im Allgemeinen nicht stark multiplikativ ist [vgl.[6], 5.1].\\

\section{Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten mit 
nicht notwendig teilerfremden Summanden}

In diesem Abschnitt sind die natürlichen Zahlen $n = x^2 + y^2$ mit $\operatorname{ggT}(x,y)\ge 1$ 
zur Betrachtung zugelassen. Sie können beliebige Primfaktoren  modulo $4$ besitzen. Die Anzahl der 
Darstellungen von $n$ mit Primfaktoren $p \equiv 3 \bmod 4$ mit geradem Exponent wird getrennt von
anderen F"allen bewiesen.\\

Mit $r_2(n)$ bezeichnen wir die Anzahl der Zahlenpaare $(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}$ mit $x^2 +y^2 = n$ 
und $\operatorname{ggT}(x,y)\ge 1$.\\
\begin{theorem}
Es sei $n = 2^a m$, wobei alle Primfaktoren von $m$ den Rest $1 \bmod 4$ haben. Dann ist 
$r_2(n) = 4\tau(m)$, wobei $\tau(m)$ die Anzahl der Teiler von $m$ ist.
\end{theorem}
\begin{proof}
Es sei
\begin{eqnarray}
n = 2^{a} m = 2^{a} p_1^{v_1}\cdot \ldots \cdot p_s^{v_s} \nonumber
\end{eqnarray}
mit $p_i \equiv 1 \bmod 4$ für alle $i = 1, \ldots, s$ und $v_i, a$ aus $\mathbb{N}_{0}$.
Gemäß Satz 1.15 ist $n$ Summe von zwei Quadraten $n = x^2 + y^2$. Es sei 
$\operatorname{ggT}(x,y)= d$. Dann gilt
\begin{eqnarray}
n = x^2 +y^2 = d^2(x'^2 + y'^2) \textmd{ mit } \operatorname{ggT}(x',y')= 1.\nonumber
\end{eqnarray}
Also ist $d^2$ ein Teiler von $n$.  Dann ist die Anzahl der Darstellungen der Zahl $n$ gleich
\begin{eqnarray}
r_2(n)= \sum_{d^2|n}^{} R_2\Big( \frac{n}{d^2}\Big )\nonumber
\end{eqnarray}
und  die einzelnen Summanden können gemäß Satz 4.4 ausgerechnet werden.\\
Außer $d^2$ gibt es noch die anderen Teiler von $n$, die keine Quadrate sind.  Die Funktion 
$\varrho (n)$ aus dem Beweis vom Satz 4.4 ist eine zahlentheoretische Funktion, weil 
Definitions- und Wertebereich der Funktion  natürliche Zahlen sind [vgl.[9], § 2.3.1].\\
Mit $R_2(n)=4 \varrho(n)$ und der zahlentheoretischen Funktion $\alpha$ [vgl. Abschnitt 4.2(a)], 
gilt
\begin{eqnarray}
r_2(n)= \sum_{d^2|n}^{} R_2\Big(\frac{n}{d^2}\Big)=\sum_{d^2|n}^{} 4 \varrho\Big(\frac{n}{d^2}\Big) 
= 4\cdot \sum_{u|n}^{} \alpha(u)\varrho\Big(\frac{n}{u}\Big) = 4(\alpha \ast \varrho)(n)\nonumber
\end{eqnarray}
wobei $(\alpha \ast \varrho)$ eine Faltung und $u\in\mathbb{N}$ alle Teiler von $n$ durch läuft.
Die Funktionen $\alpha$ und $\varrho$ sind (schwach) multiplikativ [vgl. 4.5].
Daher ist die Faltung $\alpha \ast \varrho$ auch (schwach) multiplikativ.\\
Wegen der  Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von $n$ genügt es, die Gleichung 
$(\alpha \ast \varrho)(n)= \tau(m)$  für $n = 2^{a}m$ mit den angegebenen Bedingungen nur 
für die Primzahlenpotenzen $p^r$ mit $p=2$ oder $p\equiv 1 \bmod 4$ mit $r\ge 0$ nachzuweisen.\\

Für eine Zahl $2^i$ mit $i> 1$ gibt es keine Lösung $t^2 \equiv -1 \bmod 2^{i}$ d.h. 
$\varrho(2^i) = 0$ für alle $i >1$ und die Teilsumme der Faltung ist $\sum_{i = 2}^{a}\alpha(2^{i}) 
\varrho(2^{a-i})= 0$.
Ist die Potenz $i = 0, 1$ in der Zahl $2^i$, dann ist $\varrho(2^0)=\varrho(1)= 1$ und  
$\varrho(2^1)= 1$. Andererseits  ist entweder $\alpha (2^a)$ oder $\alpha(2^{a-1})$ gleich 1.
Also gilt insgesamt
\begin{eqnarray}
(\alpha \ast \varrho)(2^a) = \sum_{i = 0}^{a} \alpha (2^i)\varrho(2^{a-i}) = \alpha(2^{a}) + 
\alpha(2^{a-1}) = 1. \nonumber
\end{eqnarray}
 Für jede Primzahl $p \equiv 1 \bmod 4$ gilt
\begin{eqnarray}
(\alpha \ast \varrho)(p^{2r}) & = & \alpha(1)\varrho(p^{2r}) + \alpha(p)\varrho(p^{2r-1}) 
+ \ldots + \alpha(p^{2r})\varrho(1) \nonumber\\
                               & = & \varrho(p^{2r})+ \varrho(p^{2r-2})+ \ldots + \varrho(1) 
\nonumber\\
                               &= & 2r + 1, \nonumber\\
(\alpha \ast \varrho)(p^{2r+1}) & = & \alpha(1)\varrho(p^{2r+1}) + \alpha(p)\varrho(p^{2r}) 
+ \ldots + \alpha(p^{2r+1})\varrho(1) \nonumber\\
                               & = & \varrho(p^{2r+1})+ \varrho(p^{2r-1})+ \ldots + \varrho(p^{3})
+ \varrho(p) \nonumber\\
                               &= & (2r + 1) +1. \nonumber
\end{eqnarray}
Daher ergibt sich für jeden Primfaktor $p_i^{v_i}$
\begin{eqnarray}
(\alpha \ast \varrho)(p_i^{v_i}) = v_i + 1 = \tau(p_i^{v_i}) \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $\tau(p_i^{v_i})$ die Anzahl der Teiler von $(p_i^{v_i})$ ist.
Aus der Multiplikativität der Faltung folgt
\begin{eqnarray}
r_2(n)= 4\cdot(\alpha \ast \varrho)(n) =  4\cdot(\alpha \ast \varrho)(2^a m) = 4\cdot 1\cdot 
\tau(p_1^{v_1})\cdot \ldots \cdot\tau(p_s^{v_s}) = 4\tau (m).\nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}

Wir kommen zum Fall, wann eine natürliche Zahl $n = x^2 + y^2$ mit $\operatorname{ggT}(x,y)\ge 1$ 
Primfaktoren  $p\equiv 1 \bmod 4$ mit $r \ge 1$ und Primfaktoren $p\equiv 3 \bmod 4$ mit 
geradem Exponent besitzt.

\begin{theorem}
Sei $n$ eine natürliche Zahl, die die Summe von zwei Quadraten ist, und es sei
\begin{eqnarray}
\lambda(d) =
\begin{cases}
\hspace{2 mm} 0  \hspace{3 mm} \textmd{ für } d\equiv 0 \bmod 2 \cr
 \hspace{2 mm} 1  \hspace{3 mm} \textmd{ für } d\equiv 1 \bmod 4 \cr
 -1 \hspace{2 mm} \textmd{ für } d\equiv 3 \bmod 4.
\end{cases}\nonumber
\end{eqnarray}
der Restklassencharakter modulo $4$. Dann gilt
\begin{eqnarray}
r_2(n) = 4 \sum_{d|n}{} \lambda(d).\nonumber
\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
Im Beweis zu Satz 4.6 haben wir gezeigt, dass die Faltung $(\alpha \ast \varrho)(n) = 
\frac{1}{4}r_2(n)$ multiplikativ ist. Mit der zahlentheoretischen Funktion $\iota(n)= 1$ 
aus dem vorherigen Abschnitt gilt
\begin{eqnarray}
\sum_{d|n}{} \lambda(d) = \sum_{d|n}{} \lambda(d)\cdot \iota\Big(\frac{n}{d}\Big)= 
(\lambda \ast \iota) (n).\nonumber
\end{eqnarray}
Wegen $(\alpha \ast \varrho)(n) = \frac{1}{4} r_2(n)$ genügt es zu zeigen, dass die Beziehung
\begin{eqnarray}
(\lambda \ast \iota) (n)= (\alpha \ast \varrho)(n) \nonumber
\end{eqnarray}
gilt. Die Funktionen $\lambda$ und $\iota$ sind multiplikativ, damit ist auch das Produkt 
$\lambda \ast \iota$ multiplikativ. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für jede 
Zahl $n\in\mathbb{N}$ und wegen der Multiplikativität der beiden Funktionen genügt es, 
den Beweis nur für die Primzahlpotenzen $p^{r}$ mit $r \ge 1$ zu zeigen.\\
Sei $p = 2$:
\begin{eqnarray}
(\lambda \ast \iota)(2^r)& = & \lambda(1)\cdot \iota(2^r) + \lambda(2)\cdot \iota(2^{r-1}) 
+ \ldots + \lambda(2^r)\cdot \iota(1) \nonumber\\
                       & = & 1 + 0+ 0+ \ldots + 0 \nonumber\\
                       & = & 1.\nonumber
\end{eqnarray}
 Also ist $(\lambda \ast \iota)(2^r) = (\alpha \ast \varrho)(2^r)$ [vgl. Beweis von Satz 4.6].\\
Sei $p \equiv 1 \bmod 4$:
Es ist $\lambda(p^r) = 1$ für alle $r\in\mathbb{N}$ und
\begin{eqnarray}
(\lambda \ast \iota)(p^r)& = & \lambda(1)\cdot \iota(p^r) + \lambda(p)\cdot \iota(2^{r-1}) 
+ \lambda(p^2)\cdot \iota(2^{r-2}) + \ldots + \lambda(p^r)\cdot \iota(1) \nonumber\\
                       & = & 1+1+1+ \ldots  + 1 = r +1.   \nonumber
\end{eqnarray}
Die Beziehung $(\lambda \ast \iota)(p^r) = (\alpha \ast \varrho)(p^r)$ gilt 
[vgl. Beweis von Satz 4.6].\\
Sei $p \equiv 3 \bmod 4$:
Es ist $\lambda(p^r) = 1$ für alle geraden $r\in\mathbb{N}$ und $\lambda(p^r) = -1$ 
für alle ungeraden $r\in\mathbb{N}$. Dann ist
\begin{eqnarray}
(\lambda \ast \iota)(p^r)& = & \lambda(1)\cdot \iota(p^r) + \lambda(p)\cdot \iota(2^{r-1}) 
+ \lambda(p^2)\cdot \iota(2^{r-2}) + \ldots + \lambda(p^r)\cdot \iota(1) \nonumber\\
                       & = & 1\underbrace{-1+1-1 \ldots  + 1 }_{r  \textmd{ mal}} .  \nonumber
\end{eqnarray}
Zu geradem $r$ ist $(\lambda \ast \iota)(p^r) = 1$ und bei ungeradem $r$ ist $(\lambda \ast 
\iota)(p^r) = 0$.\\
Mit $p \equiv 3 \bmod 4$ ist die Funktion $\varrho(p^r)= 0$ . Und folglich ist die Faltung 
$(\alpha \ast \varrho)(p^r)= 0$.\\
Gemäß des Beweises von Satz 4.6 ist $(\lambda \ast \iota)(p^r) = (\alpha \ast \varrho)(p^r)$ und 
\begin{eqnarray}
r_2(n)= 4 \sum_{d|n}{} \lambda(d).\nonumber
 \end{eqnarray}
\end{proof}

\section{Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten}
In diesem Abschnitt betrachten wir die Anzahl der Darstellungen für eine natürliche Zahl $n$, 
die eine Summe von vier Quadraten ist. Den Beweis der Anzahl der Darstellungen von $n$ 
zerlegen wir in drei Sätze. \\

Ist $u$ ungerade, dann bezeichnen wir mit $s(u)$ die Anzahl der Darstellungen\\
 $ 4u = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2$ mit $u_i\in\mathbb{N}$ ungerade für alle $i = 1, \ldots, 4$.
Mit $r_4(n)$ bezeichnen wir die Anzahl der Quadrupel $(u_1, u_2, u_3, u_4)\in\mathbb{Z}^{4}$ mit\\
 $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = n$.

\begin{theorem}
Es sei $u$ eine positive ungerade Zahl. Dann ist $s(u) = \sigma(u)$, wobei $\sigma$ die 
Teilersummenfunktion ist.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei
\begin{center}
$4u = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2$ \hspace{3 mm} mit ungeraden $u_i$ für $i = 1, \ldots, 4$.
\end{center}
Je zwei dieser Quadrate ergeben zusammen eine gerade Zahl. Wir setzen
\begin{center}
$2v = u_1^2 + u_2^2$ \hspace{1 mm} und \hspace{1 mm} $2w = u_3^2 + u_4^2$. Dabei sind $v, w$   
ungerade und $2(v + w) = 4u$.
\end{center}
Aus Satz 4.7 folgt, dass die Anzahl der Darstellungen für $2v$ und $2w$ mit Nebenbedingung 
$u_i$ aus $\mathbb{N}$ sind
\begin{eqnarray}
\frac{1}{4}r_2(2v) = (\lambda \ast \iota)(2v) \hspace{2 mm} \textmd{ und } \hspace{2 mm} 
\frac{1}{4}r_2(2w) = (\lambda \ast \iota)(2w). \nonumber
\end{eqnarray}
Es ergibt sich für die Zerlegung $4u = 2v + 2w$ genau
\begin{eqnarray}
 \frac{1}{16}r_2(2v)\cdot r_2(2w) = (\lambda \ast \iota)(2v)\cdot (\lambda \ast \iota)(2w) 
\textmd{ Quadrupel } (u_1, u_2, u_3, u_4)\in\mathbb{N}^4. \nonumber
\end{eqnarray}
Dann ist
\begin{eqnarray}
s(u) & = & \sum_{2v + 2w = 4u}^{} (\lambda \ast \iota)(2v)\cdot (\lambda \ast \iota)(2w)\nonumber\\ 
        & = & \sum_{2v + 2w = 4u}^{} \underbrace{(\lambda \ast \iota)(2)}_{=1} \cdot (\lambda 
\ast \iota)(v)\cdot \underbrace{(\lambda \ast \iota)(2)}_{=1}(\lambda \ast \iota)(w).\nonumber\\
 & = & \sum_{v + w = 2u}^{}(\lambda \ast \iota)(v)\cdot (\lambda \ast \iota)(w) \nonumber\\
     & = & \sum_{v + w = 2u}^{} \big( \sum_{a|v}^{} \lambda(a)\cdot \sum_{b|w}^{} \lambda(b) \big ) 
\nonumber\\
     & = & \sum_{v + w = 2u}^{}{}\sum_{a|v \atop b|w}^{}\lambda(ab)\nonumber\\
     & = & \sum_{ac + bd = 2u}^{}{}\lambda(ab)\nonumber
\end{eqnarray}
Zuerst rechnen wir die Summe mit $a = b$ aus.
 Die Zahl $a$ ist ungerade als Teiler von $v$, ebenso $c,d$, daher ist $a^2$  auch ungerade 
und $\lambda(a^2)= 1$. Also ist
\begin{eqnarray}
\sum_{a(c + d) = 2u}^{}{}\lambda(ab) = \sum_{a(c + d) = 2u}^{}{}\lambda(a^2) = \sum_{a(c + d) = 
2u}^{}{} 1. \nonumber
\end{eqnarray}
Die Zahl $a$ teilt $2u$, daher teilt $a$ auch $u$. Es gilt
\begin{eqnarray}
\sum_{a(c + d) = 2u}^{}{} 1 = \sum_{a|u}^{}\sum_{\frac{2u}{a} =c + d}^{} 1 = \sum_{a|u}^{} 
\frac{u}{a} = \sigma(u),\nonumber
\end{eqnarray}
wobei $\sigma(u)$ die Summe der Teiler von $u$ ist.\\
Jetzt zeigen wir, dass die verbliebene Summen $\sum_{ac + bd = 2u}^{}\lambda(ab)$ mit 
einerseits $a > b$ oder andererseits $a < b$ gleich Null sind. Die Summe mit Nebenbedingung 
$a > b$ ist symmetrisch zur Summe mit $a < b$. Deswegen beschränken wir uns auf dem Fall $a > b$. \\

Wir ordnen die Lösungen der Gleichung $ac + bd = 2u$ paarweise an, so dass einer Lösung 
$(a, b, c, d)$ eindeutig eine Lösung $(a^{'}, b^{'}, c^{'}, d^{'})$ mit 
$\lambda(ab) + \lambda(a^{'} b^{'})= 0$ entspricht. Dafür bilden wir eine bijektive Abbildung 
$\Upsilon$ abhängig von $k\in\mathbb{N}$ durch
\begin{center}
$\Upsilon:$
$\left( \begin{array}{*{1}{c}}
a\\
b\\
c\\
d\\
\end{array} \right) \longmapsto
\left( \begin{array}{*{4}{c}}
0 & 0 & k+2 & k+1 \\
0 & 0 & k+1 & k \\
-k & k +1 & 0 & 0\\
k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \\
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{*{1}{c}}
a\\
b\\
c\\
d\\
\end{array} \right).$
\end{center}


Diese Abbildungsmatrix nennen wir $M$. Das Quadrat von $M$ ist die Einheitsmatrix, d.h. 
dass $M$ bijektiv ist.
Wir setzen
\begin{center}
$\left( \begin{array}{*{1}{c}}
a^{'}\\
b^{'}\\
c^{'}\\
d^{'}\\
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{*{4}{c}}
0 & 0 & k+2 & k+1 \\
0 & 0 & k+1 & k \\
-k & k +1 & 0 & 0\\
k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \\
\end{array} \right)\cdot
\left( \begin{array}{*{1}{c}}
a\\
b\\
c\\
d\\
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{*{4}{c}}
(k + 2)c + (k+1)d\\
(k + 1)c + kd \\
-ka + (k + 1)b \\
(k+1)a -(k+2)b\\
\end{array} \right).$
\end{center}

Wegen $c + d > 0$ gilt, dass $a^{'} > b^{'}$ ist. Für jedes beliebige $k$ sind 
$a^{'}, b^{'}, c^{'}, d^{'}$ ungerade. Die Zahlen $ a^{'}, b^{'}$sind positiv und sollen
\begin{eqnarray}
c' & = & -ka + (k + 1)b  =  b - k(a-b) > 0 \textmd{ und }\nonumber\\
d' & = & (k + 1)a - (k+2)b  =  (k +1)(a-b)-b > 0 \textmd{ sein. }\nonumber
\end{eqnarray}
Also  soll
\begin{eqnarray}
\frac{b}{a-b} - 1 < k < \frac{b}{a - b} \nonumber
\end{eqnarray}
sein. Wir wählen daher
\begin{eqnarray}
k = \Big[ \frac{b}{a-b} \Big]. \nonumber
\end{eqnarray}
Es gilt
\begin{eqnarray}
a^{'}c^{'} + b^{'}d^{'} & = & ((k+2)c + (k +1)d)(-ka + (k + 1)b)+ ((k +1)c + kd)((k + 1)a 
- (k + 2)b) \nonumber\\
                        & = & -k(k + 2)c a + (k+1)(k + 2)cb- k(k + 1)ad + (k + 1)^{2}bd 
\nonumber\\
                        &   & + (k + 1)^{2}ca - (k+ 1)(k + 2)cb + k(k + 1)da - k(k + 2)db 
\nonumber\\
                        & = & ac(-k(k + 2) + (k + 1)^{2}) + bd((k +1)^{2} - k(k + 2))\nonumber\\
                        & = & (ac + bd)((k + 1)^{2} - k(k + 2)) \nonumber\\
                        & = & ac + bd = 2u.\nonumber
\end{eqnarray}
Durch die Gleichung
\begin{eqnarray}
\Big[ \frac{b'}{a'- b'}\Big] & = & \Big[ \frac{k(c + d) + c}{c + d}\Big]= k\nonumber
\end{eqnarray}
werden die Zahlen $a, b, c, d$ aus den Zahlen $a', b', c', d'$ durch die gleiche Matrix gewonnen.
Für ungerade $x, y\in\mathbb{N}$ gilt $xy \equiv x +y -1 \bmod 4$. Daher gilt
\begin{eqnarray}
ab + a^{'}b^{'} & \equiv & a + b -1 + a^{'} + b^{'} -1 \nonumber\\
                & \equiv & a + b  + (k +2)c + (k + 1)d + (k +1)c + kd -2 \nonumber\\
                & \equiv & a + b c + d + 2kc + 2kd + 2c -2\nonumber\\
                & \equiv &  a + b c + d +2k(c +d) + 2(c -1) \nonumber\\
                & \equiv & 0 \bmod 4.\nonumber
\end{eqnarray}
Da $c -1$ und $c + d$ gerade sind, sind $2(c - 1)$ und $2k(c+ d) \equiv 0 \bmod 4$, und 
daher auch $ a + b c + d \equiv 0 \bmod 4$.
Also ist $ab + a^{'}b^{'} \equiv 0 \bmod 4$ und damit $\lambda(ab) = - \lambda(a^{'}b^{'})$.
\end{proof}

\begin{theorem}
Sei $u$ eine ungerade natürliche Zahl. Dann ist $r_4(2u) = 3r_4(u)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Die Zahl $2u = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2$ mit ungeradem $u$ ist kongruent $2$ modulo $4$. 
Daher sind genau zwei der $u_i$ mit $i = 1, \ldots, 4$ gerade (bzw. ungerade). 
Wir fordern zusätzlich
\begin{center}
$u_1, u_2 \equiv 0 \bmod 2$ und $u_3, u_4 \equiv 1 \bmod 2$.
\end{center}
Wegen $\left({4 \atop {2}}\right) = 6$ ergeben sich $\frac{1}{6}r_4(2u)$ Lösungen für 
ein solches Quadrupel.
Wir machen die Substitution
\begin{eqnarray}
y_1 = \frac{u_1 + u_2}{2}, \hspace{2 mm} y_2 = \frac{u_1 - u_2}{2} , \hspace{2 mm} y_3 = 
\frac{u_3 + u_4}{2}, \hspace{2 mm} y_4 = \frac{u_3 - u_4}{2}.
\end{eqnarray}
Es ist $u = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2$ mit $y_1 + y_2 \equiv 0 \bmod 2$ und 
$y_3 + y_4 \equiv 1 \bmod 2$ entsprechend den Bedingungen an $u_1, u_2, u_3, u_4$.
 Dann ist die Anzahl der Lösungen $(y_1, \ldots, y_4)$ mit diesen Nebenbedingungen ebenfalls 
$\frac{1}{6}r_4(2u)$. Andererseits gibt es $r_4(u)$ Lösungen für $u$ ohne diese Nebenbedingungen.
Die Zahl $u$ ist ungerade, deswegen kann entweder $y_1 + y_2 \equiv 0 \bmod 2$ und 
$y_3 + y_4 \equiv 1 \bmod 2$ oder  umgekehrt sein, d.h. es gibt nur zwei Möglichkeiten. 
Es gilt also
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}r_4(u) = \frac{1}{6}r_4(2u). \nonumber
\end{eqnarray}
Daraus folgt, dass $3 r_4(u) = r_4(2u)$ ist.
\end{proof}

Jetzt beweisen wir die Formel für die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe 
von vier Quadratren.\\
\begin{theorem}
({\sc Jacobi\sc}) Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt
\begin{eqnarray}
r_4(n)=
\begin{cases}
8 \cdot \sigma(n)  \hspace{25 mm}\textmd{ für } n \not\equiv 0 \bmod 4 \cr
8 \cdot \sigma(n) - 32 \cdot \sigma\Big(\frac{n}{4}\Big) \hspace{2 mm} \textmd{ für } 
n\equiv 0 \bmod 4.
\end{cases} \nonumber
\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
 Es sei
 \begin{center}
$4n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ mit $n, x_{i} \in\mathbb{N}$ für $i = 1, \ldots, 4$.
\end{center}
Diese Zahl $4n$ ist durch $4$ teilbar, daher sind alle $x_i$ gerade oder ungerade.
Mit $u_i = x_i$ in der Substitution (4.6) gilt
\begin{center}
$2n = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2$
\end{center}
mit allen $y_i$ gerade oder ungerade. \\
Im Beweis von Satz 4.9 haben wir gesehen, dass die Anzahl der Darstellungen von $4n$ und $2n$
mit den dortigen Nebenbedingungen gleich sind. Also ist $r_4(4n)= r_4(2n)$.\\
Da der Beweis der Anzahl der Darstellungen von $n$ auf der Restklasse modulo 4 basiert, 
betrachten wir alle Reste von $n$ modulo $4$. \\
\underline{1. Fall: } Es sei $n$ eine ungerade natürliche Zahl. \\
Es ist
\begin{center}
$4n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$.
\end{center}
Dann ist die Anzahl der Darstellungen $r_4(4n)$ die Summe der Anzahl der Darstellungen mit 
allen $x_i$ gerade oder ungerade. \\
Nach Satz 4.8 gibt es $s(n)= \sigma(n)$ Lösungen mit ungeraden $x_i$ aus $\mathbb{N}$. 
Und für $x_i$ ungerade aus $\mathbb{Z}$ gibt es $16\cdot\sigma(n)$ Darstellungen der Zahl $4n$.\\
Für die Lösungen mit geradem $x_i$ und mit $x'_i = \frac{1}{2} x_i$ ist
\begin{eqnarray}
4n & = & 4(x'_1{}^2 + x'_2{}^2 + x'_3{}^2 + x'_4{}^2)\nonumber \\
n & = & x'_1{}^2 + x'_2{}^2 + x'_3{}^2 + x'_4{}^2  \nonumber .
\end{eqnarray}
Die Anzahl dieser Lösungen ist $r_4(n)$. Dann ergeben sich insgesamt
\begin{center}
$r_4(4n)= r_4(n) + 16\cdot\sigma(n)$ Darstellungen von $4n$.
\end{center}
Aus Satz 4.9 folgt
\begin{center}
$3r_4(n) = r_4(2n) = r_4(4n)= r_4(n) + 16\cdot\sigma(n)$.
\end{center}
Also ist
\begin{eqnarray}
2r_4(n) & = & 16\cdot\sigma(n) \textmd{ und somit }\nonumber\\
r_4(n) & = & 8\cdot \sigma(n).\nonumber
\end{eqnarray}
\underline{2. Fall: } Es sei $n\equiv 2 \bmod 4$.\\
Gemäß Satz 4.9 gilt
\begin{eqnarray}
r_4(n)& = & 3\cdot r_4\Big(\frac{n}{2}\Big) \nonumber\\
      & = &  3\cdot 8 \cdot\sigma\Big(\frac{n}{2}\Big) \nonumber\\
      & = &  8 \cdot \sigma(2) \cdot \sigma\Big(\frac{n}{2}\Big)\nonumber\\
      & =  & 8 \cdot\sigma(n), \nonumber
\end{eqnarray}
da die Funktion $\sigma$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist und 
$\operatorname{ggT}(2, \frac{n}{2})= 1$ ist.\\
\underline{ 3. Fall: } Es sei $n \equiv 0 \bmod 4$.\\
Wir setzen $n = 2^{k}u$, wobei $k \ge 2$ und $u$ eine ungerade Zahl ist. Dann ist
\begin{eqnarray}
 r_4(2^{k}u)  & = & r_4(2^{k-1}u) = \ldots = r_4(2^{k-(k - 2)}u) \nonumber\\
                       & = & r_4(4u)\nonumber\\
                       & = & r_4(2u) \nonumber\\
                       &=  & 24 \cdot \sigma(u)\nonumber\\
       & =  & 8 \cdot 3 \cdot \sigma(u)\nonumber\\
       & = & 8 \cdot [\sigma(2^{k}) - 4\sigma(2^{k -2})] \cdot\sigma(u) \nonumber\\
       & = & 8 \cdot \sigma(2^k)\cdot \sigma(u) - 32\cdot \sigma \Big(\frac{2^k}{4}\Big) 
\cdot \sigma(u) \nonumber\\
       & = & 8 \cdot \sigma(n) -32 \cdot \sigma \Big(\frac{n}{4}\Big),  \nonumber
\end{eqnarray}
da $\operatorname{ggT}(2^k, u)= \operatorname{ggT}(\frac{2^k}{4}, u) = 1$ und $\sigma$ 
multiplikativ ist.\\
\end{proof}
Am Ende des Kapitels möchten wir zwei Beispiele zur Berechnung von Anzahl der Darstellungen 
der Zahl $n$ als Summe von vier Quadraten geben.\\
\begin{beispiel}
Sei $n = 170$.\\
 Die Teiler von $n$ sind $1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170$. Also ist
\begin{eqnarray}
\sigma(170) = 1 + 2 + 5 + 10 + 17 + 34 + 85 + 170 = 324. \nonumber
\end{eqnarray}
Da $n$ nicht durch vier teilbar ist, gilt die erste Bedingung des Satzes 4.10 und wir erhalten 
\begin{eqnarray}
r_{4}(170) = 8 \cdot 324  = 2592 \nonumber
\end{eqnarray}
Möglichkeiten, die Zahl $170$ als Summe von vier Quadraten darzustellen.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Sei $n = 4$.
 Die Teiler von $n$ sind $1, 2$ und $4$. Daher ist $\sigma(4) = 7$. Und die Anzahl der 
Darstellungen von $4$ gemäß der zweiten Behauptung des Satzes 4.10 ist
\begin{eqnarray}
r_{4}(4) = 8 \cdot 7 -32 = 24. \nonumber
\end{eqnarray}
Die Zahl 4 hat genau 16 Darstellungen mit Summanden $\pm 1$
\begin{eqnarray}
4 = (\pm 1)^{2} + (\pm 1)^{2} +(\pm 1)^{2} +(\pm 1)^{2} \nonumber
\end{eqnarray}
und 8 Darstellungen mit einem Summand $\pm 2$ und anderen Nullen. Es ist eine von 8 Darstellungen
\begin{eqnarray}
4 = 0 + 0 + 0 +(\pm 2)^{2}. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
Die Behauptung des Satzes 13 des Kapitels VII.8 im Buch \glqq Zahlentheorie\grqq \hspace{1 mm} [12] 
von {\sc Harald Scheid\sc}
\begin{eqnarray}
r_4(n)=
\begin{cases}
8 \cdot \sigma(n) & \textmd{ wenn } 2\not|n, \cr
24 \cdot \sigma(n) & \textmd{ wenn } 2|n
\end{cases} \nonumber
\end{eqnarray}
ist nur für $4|n$ nicht richtig.
\end{bemerkung}
Nach der zweiten Aussage der Behauptung aus Bemerkung 4.13 gilt, dass
\begin{center}
$r_{4}(4) = 24 \cdot 7 = 168$
\end{center}
ist. Dies stimmt mit dem Ergebnis von Beispiel (4.12) nicht überein.