\chapter{Ausblick auf das {\sc Waring\sc}sche Problem}
In der Vergangenheit haben sich Mathematiker in der Zahlentheorie mit natürlichen Zahlen beschäftigt,
die sich als Summe von Quadraten, Kuben, Biquadraten usw. schreiben lassen. Der englische
Mathematiker {\sc Edward Waring\sc}\footnote{Edward Waring (* 1736 in Old Heath nahe Shrewsbury;
\dag 15. August 1798 in Pontesbury, Shropshire).} hat in seinem Buch \glqq \textit{Meditationes
Algebraicae}\grqq \hspace{1 mm} behauptet, dass jede natürliche Zahl als Summe von höch\\stens neun
dritten Potenzen, als Summe von höchstens neunzehn vierten Potenzen usw. darstellbar ist. Diese
Behauptung hat er nicht bewiesen und wurde daher als das \textit{{\sc Waring\sc}sche Problem}
bekannt, welches sich folgendermaßen formulieren lässt:
Zu jedem $k$ existiert ein (minimales) $g(k)$ derart, dass jedes $n$ als Summe von höchstens $g(k)$
$k$-ten Potenzen dargestellt werden kann. Neben der Existenz gehört zum {\sc Waring\sc}schen
Problem auch die Frage, wie man $g(k)$ bestimmen bzw. gute Abschätzungen finden kann.\\
Der Satz von {\sc Lagrange,\sc} der in dieser Arbeit betrachtet wurde, ist ein Spezialfall vom {\sc
Waring\sc}schen Problem, er besagt $g(2) = 4$. \\
Einen bedeutenden Fortschritt in der Lösung des {\sc Waring\sc}schen Problems hat {\sc David
Hilbert\sc}\footnote{David Hilbert (23. Januar 1862 in Königsberg; \dag 14. Februar 1943 in
Göttingen) war einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.} 1909 geleistet. Er hat die {\sc
Waring\sc}sche Vermutung vollständig bewiesen. Daher bezeichnet man den Satz als den Satz von {\sc
Waring-Hilbert.\sc} Im gleichen Jahr bewiest {\sc A.J.A. Wieferich,\sc} dass maximal neun Summanden
benötigt werden, um eine beliebige natürliche Zahl als Summe von Kuben darzustellen.\\
Nachdem die Existenz eines $g(k)$ für jedes $k \ge 2$ bewiesen war, beschäftigen sich die
Mathematiker mit der Ermittlung des kleinsten ausreichenden $g(k)$. \\
Offensichtlich muss $g(k)$ mit $k$ anwachsen. Eine Abschätzung der Zahl $g(k)$ nach unten wird in
folgendem Satz beschrieben, den wir ohne Beweis erwähnen.
\begin{theorem}
Für jede natürliche Zahl $k \ge 2$ gilt
\begin{eqnarray}
g(k)\ge 2^{k} + \Big[ {\Big(\frac{3}{2}\Big)}^{k} \Big]- 2. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{theorem}
Der rechte Seite der Behauptung im Satz 5.1 bezeichnen wir mit $g^*(k)$. Daraus ergibt sich bei
kleinem $k$ die Tabelle \ref{key} der unteren Schranken $g^*(k)$ von $g(k)$. \\
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{c|c c c c c c c c c c}
$k$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \ldots \\ \hline
$g^*(k)$ & 4 & 9 & 19 & 37 & 73 & 143 & 279 & 548 & 1079 & \ldots
\end{tabular}
\caption{Untere Schranken $g^*(k)$ von $g(k)$ bei kleinem $k$}
\label{key}
\end{table}
Die Mathematiker des 20. Jahrhunderts haben den Satz von {\sc Waring-Hilbert\sc} mit anderen
Beweismethoden gezeigt: In den 1920er Jahren haben {\sc G.H. Hardy\sc} und {\sc J.E. Littlewood\sc}
auf der Basis der Werke von {\sc L.E. Dickson, S.S. Pillai \sc } und anderen eine analytische
Methode entwickelt, die den Satz von {\sc Waring-Hilbert\sc} bestätigt und auch eine gute
Abschätzung von $g(k)$ gibt (nämlich $g(k) \le k\cdot 2^{k-1}$) [vgl.[7], Sechster Teil, Einleitung].
\\
Man hat bereits beweisen können, dass $g(k)= g^*(k)$ für $k \le 471 \hspace{1mm} 600 \hspace{1mm}
000$ gilt. {\sc L.E. Dickson \sc} hat einen Beweis für $6 \le k \le 400$ schon 1936 gegeben. Nach
diesem Ergebnis konnte { \sc R.M. Stemmler \sc} für jedes $k$ aus dem Intervall $ 400 < k \le
200\hspace{1mm} 000$ die minimale Anzahl der Summanden in der Darstellung einer beliebigen
natürlichen Zahl $n$ als Summe von $k$-ten Potenzen nachweisen. Für $k = 4$ haben {\sc R.
Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, F. Dress \sc} 1985 und für $k = 5$ hat {\sc J.-R. Chen\sc} 1964
die Zahl $g(k)$ bestimmt.
Im Jahr 1990 konnten { \sc J.M. Kubina \sc} und {\sc M.C. Wunderlich \sc} die Gleichheit bis
$471\hspace{1mm} 600\hspace{1mm} 000$ nachweisen.\\
In Zukunft soll noch bewiesen werden, dass die Gültigkeit der Gleichung $g(k) = g^*(k)$ für
\textit{alle} $k \in\mathbb{N}$ gilt, obwohl man im Bereich $k > 471\hspace{1mm} 600\hspace{1mm} 000$
fast vollständige Klarheit hat. So konnte {\sc K. Mahler \sc} 1957 nachweisen, dass $g(k) > g^*(k)$
höchstens endlich oft möglich ist [vgl.[2], 4 § 1.7].\\
