\chapter{Die {\sc Gauss\sc}schen Zahlen und Summe zweier Quadrate}
Die Geschichte von der Suche und der Erklärung der Lösung $i= \sqrt{-1}$ für die Gleichung
$x^2 +1 = 0$ ist sehr spannend und geht in das 16. Jahrhundert zurück. Die komplexen Zahlen haben
den Mathematikern und Philosophen der Vergangenheit große Schwierigkeiten bereitet. So konnte z.B.
{\sc Euler\sc}\footnote{{\sc Leonhard Euler \sc}(* 15. April 1707 in Basel; \dag 18. September 1783
in Sankt Petersburg) war Schweizer Mathematiker und Physiker.} die imaginären Zahlen nicht
erklären, obwohl er mit ihnen jahrzehntelang meisterhaft gerechnet hat. Er betonte auch:
\glqq So ist es klar, dass die Quadrat-Wurzeln von Negativen-Zahlen nicht einmal unter die möglichen
Zahlen berechnet werden können: folglich müssen wir sagen, dass dieselben ohnmögliche Zahlen sind.
Und dieser Umstand leitet uns auf den Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach ohnmöglich
sind, und gemeiniglich \textit{imaginäre}, oder \textit{eingebildete} Zahlen genannt werden, weil
sie bloß allein in der Einbildung statt finden\grqq [vgl.[3], 3. §1.4].\\
Wir beschäftigen uns im ersten Kapitel mit diesen imaginären Zahlen. Wir fangen mit der Betrachtung
der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen und ihrer Eigenschaften an. Danach zeigen wir, wann eine Primzahl
Summe von zwei Quadraten ist und am Schluss des Kapitels beweisen wir, wann eine natürliche Zahl als
Summe von zwei Quadraten dargestellt werden kann.\\
\section{Die {\sc Gauss\sc}schen Zahlen und ihre Eigenschaften}
Wir gehen davon aus, dass dem Leser die komplexen Zahlen $\mathbb{C} := \{a+b\textit{i} \hspace{2mm}
| \hspace{2mm} a, b \in \mathbb{R}\}$ mit den Operationen der Addition und Multiplikation bekannt
sind. 1799 hat {\sc Carl Friedrich Gauss\sc}\footnote{{\sc Johann Carl Friedrich Gauss \sc} (* 30.
April 1777 in Braunschweig; \dag 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker,
Astronom, Geodät und Physiker.} die komplexen Zahlen $ \mathbb{C}$ erstmals in seiner Dissertation
erfasst. Die Elemente $a+b\it{i}\in\mathbb{C}$ mit $ a,b \in \mathbb{{Z}}$ nennt man \textit{ganze
{\sc Gauss\sc}sche Zahlen} und bezeichnet sie mit $\mathbb{Z}[i]$ .\\
\begin{defin}
$\mathbb{Z}[i] := \{a+b\textit{i} \hspace{2mm} | \hspace{2mm} a, b \in \mathbb{Z}\}$ heißt die
\textit{Menge der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen}.
\end{defin}
{\sc Gauss \sc} hat in seinem Werk \glqq Theoria Residuorum Biguadraticorum, Commentatio
Secunda\grqq(Werke 2, 93-148) die eindeutige Darstellung der komplexen Zahlen als Punkte in der
\textit{komplexen Zahlenebene} dargelegt.
In dieser Ebene bilden die {\sc Gauss\sc}schen Zahlen ein sogenanntes Gitter [siehe Abbildung. 1.1].
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{GaussZ3.png}
\caption{Die komplexe Zahlenebene.}
\end{figure}
Im Folgenden wollen wir die Eigenschaften von $\mathbb{Z}[i]$ betrachten.\\
\begin{theorem}
Sei \hspace{2 mm} $ \mathbb{Z}[i] = \{a+b\textit{i} \hspace{2mm} | \hspace{2mm} a, b \in
\mathbb{Z}\}$ die Menge der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen. Dann ist $\mathbb{Z}[i]$ ein kommutativer
Unterring von $\mathbb{C}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
In $ \mathbb{Z}[i]$ rechnet man mit ganzen Zahlen, wobei $i^2 = -1\in\mathbb {Z}$ ist.
In $\mathbb{C}$ rechnet man mit reellen Zahlen $\mathbb{R}$, wobei $(\mathbb{R},+, \cdot)$
ein Körper ist [vgl. [10], Beispiel 2.11(i)]. Die Rechenregeln für $\mathbb{Z}$ stimmen mit den
jeweiligen Rechenregeln von $\mathbb{R}$ überein, da $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ ist. Deswegen
gelten die Assoziativität, die Kommutativität bezüglich Addition und Multiplikation und die
Distributivität von komplexen Zahlen. Aus dem gleichen Grund ist $1$ das Einselement in
$\mathbb{Z}[i]$. Es bleibt nur die Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation zu zeigen.
Seien $x = a + b\textit{i}$, $y = c + d\textit{i}$ {\sc Gauss\sc}sche Zahlen, mit $a, b, c, d \in
\mathbb{Z}$ und $\textit{i} \in \mathbb{C}$ mit $i^2$ = -1. \\
$(\mathbb{Z}[i],+)$ ist \textit{ abgeschlossen}: $x+y = (a + c) + (b + d)\textit{i} \in
\mathbb{Z}[i]$.\\
$(\mathbb{Z}[i], \cdot)$ ist \textit {abgeschlossen}: $ x \cdot y
= (a + b\textit{i})\cdot(c + d\textit{i}) = (ac- bd)+ (ad+bc)\textit{i} \in \mathbb{Z}[i]$.
\end{proof}
Mit der Betrachtung von $\mathbb{Z}[i]$ als Unterring von $\mathbb{C}$ ist es offensichtlich, dass
die Begriffe von komplexen Zahlen für {\sc Gauss\sc}sche Zahlen gelten, wenn $\mathbb{Z}$ statt
$\mathbb{R}$ betrachtet wird. So stimmen z.B. die Konjugationsabbildung und die Rechnenregeln mit
dem konjugierten Element mit denen der komplexen Zahlen überein. Der Betrag von komplexen Zahlen
für {\sc Gauss\sc}schen Zahlen nennt man Norm. Wegen der Wichtigkeit des Begriffes für diese Arbeit,
definieren wir ihn gesondert.\\
\begin{defin}
Für jede komplexe Zahl $x = a +b\it{i}$ mit $ a,b \in \mathbb{Z}$ heißt \\
\begin{center}
$N(x) = |x|^{2} = x\overline{x} = a^2 +b^2$
\end{center}
die \textit{Norm} von $x$.
\end{defin}
Die Norm ist multiplikativ:
\begin{center}
$N(xy) = xy\overline{xy} = xy(\overline{yx}) = x(y\overline{y})\overline{x} =
x\overline{x}y\overline{y} = N(x)N(y)$
\end{center}
mit $x,y \in \mathbb{Z}[i]$.\\
In $\mathbb {C}$ haben alle Elemente außer $0$ ein Inverses aus $\mathbb {C}$ bezüglich der
Multiplikation d.h. sie sind Einheiten [vgl.[5], Definition 4.17(f)]. In $\mathbb {Z}[i]$, der ein
Ring ist, sind nur 4 solche Elemente vorhanden.
\begin{defin}
${\mathbb{Z}[i]}^* : = \{ 1, -1, i, -i\}$ heißt \textit{Menge der Einheiten von {\sc Gauss\sc}schen
Zahlen}.
\end{defin}
\begin{lemma}
Ist $x \in \mathbb{Z}[i]^*$, dann gilt $N(x) = 1$.
\end{lemma}
\begin{proof} Ist $N(x) = a^2 +b^2 = 1$ mit $a, b\in\mathbb{Z}$, dann gilt
\begin{eqnarray}
\textmd{entweder} & x = \pm {i} & \textmd{ mit } a =0 \textmd{ und } b =\pm{1}, \nonumber \\
\textmd{oder } & x = \pm {1} & \textmd{ mit } a =\pm {1} \textmd{ und } b = 0. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}
% ***************************
\begin{theorem}
Der Ring $\mathbb{Z}[i]$ ist euklidisch, d.h. zu $x, y \in \mathbb{Z}[i]$ mit $y \not \neq 0$ gibt
es $q, r \in \mathbb{Z}[i]$ mit
\begin{center}
$x = yq + r$ \hspace {3 mm} und \hspace {3 mm} $N(r)\le \frac{1}{2} N(y)$.
\end{center}
\end{theorem}
\begin{proof}
Der Ring $\mathbb{Z}[i]$ hat keinen anderen Nullteiler außer 0, er ist nullteilerfrei.\\
Sei $z = \frac{x}{y} = c + id$ \hspace {1 mm} mit \hspace {1 mm} $c, d \in \mathbb{Q}$.
Zu $c, d$ gibt es eine Approximation $c^{'}, d^{'} \in \mathbb{Z}$ derart, dass
$|c - c^{'}| \le \frac{1}{2}$ \hspace{1 mm} und \hspace{1 mm} $|d - d^{'}| \le \frac{1}{2} $ gilt.
Wir schreiben den ganzen Teil von $z$ als $q = c^{'} + id^{'} \in \mathbb{Z}[i]$ auf. Es sei $r = x
-yq$. Dann gilt\\
${|z - q|}^2 = {|(c - c^{'}) + i(d-d^{'})|}^2 = {|c - c^{'}|}^2 + {|d - d^{'}|}^2 \le
{(\frac{1}{2})}^{2} + {\big( \frac{1}{2} \big) }^2 = \frac{1}{2}$. \\
Also ist $N(r) = {|r|}^2 = {|x -yq|}^2 = {|y(\frac{x}{y}-q)|}^2 = {|y|}^2 {|z-q|}^2 \le \frac{1}{2}
{|y|}^2 = \frac{1}{2} N(y)$.
\end{proof}
Der euklidische Zahlenring $\mathbb{Z}[i]$ ist ein Hauptidealring. Somit ist jedes irreduzible
Element in $\mathbb{Z}[i]$ auch ein Primelement, und es gilt der Satz von der eindeutigen
Primfaktorzerlegung [vgl.[5], Satz 11.6, 11.12, 11.14].\\
\begin{defin}
Die Primelemente von $\mathbb{Z}[i]$ heißen \textit{{\sc Gauss\sc}sche Primzahlen}.
\end{defin}
\begin{theorem}
Wenn $x \in \mathbb{Z}[i]$ und $N(x)$ eine Primzahl in $\mathbb{Z}$ ist, dann ist $x$ eine {\sc
Gauss\sc}sche Primzahl.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $p = N(x)$ eine Primzahl und $x = yz$ mit $y,z \in \mathbb{Z}[i]$.
Wegen $N(x) = N(yz)= N(y)N(z)$ ist entweder $N(y) =1$ oder $N(z) =1$, da $N(x)$ prim aus
$\mathbb{N}$ und irreduzibel ist. Gemäß Lemma 1.5 ist $y$ oder $z$ eine Einheit und dann ist
$x \in \mathbb{Z}[i]$ irreduzibel.
\end{proof}
\begin{theorem}
Sei $p \in \mathbb{N}$ eine ungerade Primzahl. Dann ist $p$ entweder prim in $\mathbb{Z}[i]$ oder
die Norm von einer {\sc Gauss\sc}schen Primzahl in der Form $p = q \overline {q}$, wobei
$q, \overline {q}$ zueinander nicht assoziierte {\sc Gauss\sc}sche Primzahlen sind und $p = q
\overline {q}$ eine Primfaktorzerlegung ist.
\end{theorem}
\begin{proof}
Die Primzahl $p$ aus $ \mathbb{N}$ ist in $\mathbb{Z}[i]$ in das Produkt der Primfaktoren
\begin{center}
$p = uq_1q_2 \ldots q_n $
\end{center}
mit $u \in \mathbb{Z}[i]^*$ und {\sc Gauss\sc}schen Primzahlen $q_i$ zerlegbar. Gemäß Lemma 1.5
gilt
\begin{eqnarray}
p^2 = N(p) = N(uq_1q_2 \ldots q_n) = N(q_1)N(q_2)\ldots N(q_n). \nonumber
\end{eqnarray}
Ist $0 \neq p \in \mathbb{N}$ und $N(q_j)$ keine Einheit ist, dann ist $0 \neq N(q_j)$ aus
$\mathbb{N}$. Daraus folgt, dass
\begin{eqnarray}
p^2 = \prod_{j\in\mathbb{N}} N(q_j)\nonumber
\end{eqnarray} ist,\hspace{1 mm} mit $1 \leq j \leq 2$. \\
Wir betrachten zwei F"alle.\\
\underline{1. Fall:} Sei $j = 1$ und $p=uq_1$.\\
Hier ist $q_1$ eine {\sc Gauss\sc}sche Primzahl und $u$ ist eine Einheit, dann sind $p$ und $q_1$
zueinander assoziiert und $p$ ist auch eine {\sc Gauss\sc}sche Primzahl.\\
\underline{2. Fall:} Sei $j = 2$ und $p=uq_1 q_2$.\\
Es ist $p^2 = N(p)= N(q_1)N(q_2)$.
Somit ist $q_1 \overline {q_1} = N(q_1) = p = N(q_2)= q_2 \overline {q_2}$ mit $N(q_1), N(q_2) \neq
1$.
Sei $q_1$ und $q_2$ die {\sc Gauss\sc}schen Primzahlen d.h. $q_1\neq q_2$, dann ist offensichtlich
$q_1$ zu $\overline{q_2}$ assoziiert (bzw. $q_2$ zu $\overline{q_1}$ assoziiert) und es gilt, dass
$\overline{q_1}, \overline{q_2}$ {\sc Gauss\sc}sche Primzahlen sind.
Wir setzen $q = q_1$, daher ist $p = q \overline {q}$. Diese Bezeichnung wenden wir im Beweis weiter
an.\\
Nehmen wir an, dass $q$ und $\overline {q}$ zueinander assoziiert sind, dann gilt $uq = \overline{q}$
mit $q = a +b\it{i}\in\mathbb{Z}[i]$.
Wir führen den Beweis weiter mit der Fallunterscheidung für die Einheit $u$.\\
\underline{2.a. Fall:} Sei $u = \pm 1$.\\
Hier gilt entweder $p = q \overline{q} = q^{2} = {(a +bi)}^2$ \hspace{1 mm} bei $u = 1$
oder $p = q \overline{q} = {- q}^{2} = {-(a +bi)}^{2}$ \hspace{1 mm} bei $u = -1$.
Es ist $p \in \mathbb{N}$, deswegen muss $a = 0$ oder $b = 0$ sein. Also ist
entweder $p = a^2$ \hspace{1 mm} bei $b = 0$ und $ u = 1$
oder $p = b^2$ \hspace{2 mm} bei $a = 0$ und $ u = -1$.
Aber dies widerspricht der Annahme, dass $p$ eine Primzahl ist.\\
\underline{2.b. Fall:} Sei $u = \pm \it{i}$. \\
Dann ist entweder $p = q\overline{q} = (a+bi)(-b+ai) = -2ab +(a^2-b^2)\it{i}$ bei $u = i$ oder
$p = q\overline{q} = (a+bi)(b-ai)= 2ab +(-a^2+b^2)\it{i}$ bei $u = -i$.
Da $p \in \mathbb{N}$ ungerade ist und es gilt weiter entweder $p = 2a^2$ bei $a = -b$ und
$u = \it{i}$ oder $p = 2b^2$ bei $a = b$ und $u = \it{-i}$.\\
Also ist $p$ nicht prim. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.
\end{proof}
%************************ 2X2 Matrizen*******************
\subsection*{Darstellung der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen durch \textbf{$2\times 2$} Matrizen}
%\normalsize
Die {\sc Gauss\sc}sche Zahl $x= a+b\textit{i}$ kann als eine Zahl, ein Zahlenpaar oder eine
$2\times 2$ Matrix aufgefasst werden.\\
Die Darstellung von {\sc Gauss\sc}schen Zahlen als $2 \times 2$ Matrix bezieht sich auf die
Darstellung von komplexen Zahlen.
Sei
\begin{eqnarray}
\Psi=\Big \{
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
a& -b\\
b& a\\
\end{array}
\Big)\hspace{2 mm} | \hspace{2 mm} a,b \in \mathbb{R}\ \Big \} \nonumber
\end{eqnarray}
die \textit{Menge der reellen Matrizen, die komplexe Zahlen darstellen} [vgl.[3], § 2.3.5]. \\
Die $\mathbb{R}$-lineare Abbildung
\begin{eqnarray}
F:\mathbb{C} \rightarrow \Psi,\hspace{5 mm} a+b\textit{i}
\mapsto
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
a& -b\\
b& a\\
\end{array}
\Big) \hspace{3 mm} \nonumber
\end{eqnarray} ist ein \textit{Körperisomorphismus} mit $I: = F(\it{i}) = \Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
0& -1\\
1& 0\\
\end{array}\Big)$
\hspace{3 mm} ${I}^{2} = -E$.\\
Das Produkt der Multiplikation von zwei beliebigen Matrizen A = $\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
a& -b\\
b& a\\
\end{array}
\Big)$ und B = $\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
c& -d\\
d& c\\
\end{array}
\Big)$ aus $\Psi$ ist
\begin {eqnarray}
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
a& -b\\
b& a\\
\end{array}
\Big)
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
c& -d\\
d& c\\
\end{array}
\Big) = \Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
{ac-bd}& {-(ad+bc)}\\
{ad+bc}& { ac-bd}\\
\end{array}
\Big).
\end{eqnarray}
Wenn man mit Matrizen rechnet, dann fordert die Multiplikation immer eine besondere Beachtung,
weil sie im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Das Produkt aus Gleichung (1.1) ist kommutativ,
wie man leicht nachrechnen kann. Daher ist $\Psi$ bezüglich der Matrizenaddition,
Matrizenmultiplikation ein \textit{Körper} mit der Einheitsmatrix $E$ als Einselement.\\
\begin{defin}
Die Menge $\mathbb{G}:=\Big \{
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
a& -b\\
b& a\\
\end{array}
\Big)\hspace{2mm} | \hspace{2mm} a,b \in \mathbb{Z}\ \Big \}$ heißt \textit{ die Menge der Matrizen
der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen}. \\
\end{defin}
\begin{theorem}
$(\mathbb{G}, +, \cdot)$ ist ein kommutativer Unterring von $\Psi$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Wegen des Körperisomorphismus $F$ und $\mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C}$ gilt, dass der kommutative
Ring $\mathbb{Z}[i]$ in $\mathbb{G}$ übergeht.
\end{proof}
\begin{defin}
${\mathbb{G}}^* := \Big \{ \Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
1& 0\\
0& 1\\
\end{array}
\Big),
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
-1& 0\\
0& -1\\
\end{array}
\Big),
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
0& -1\\
1& 0\\
\end{array}
\Big),
\Big(
\begin{array}{*{2}{c}}
0& 1\\
-1& 0\\
\end{array}
\Big) \Big \}$ heißt \\ \textit{ Einheitsmenge der Matrizen der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen}.
\end{defin}
%*******************************************
\section{Primzahlen als Summe zweier Quadrate}
Nach der Betrachtung der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen beschäftigen wir uns in diesem Abschnitt mit
Primzahlen als Summe von zwei Quadraten, die mit Hilfe der {\sc Gauss\sc}schen Zahlen berechnet
werden. Wir betrachten auch die Elemente im Restklassenring $\mathbb{Z}/(p)$ als Summe von zwei
Quadraten.
\subsection{Primzahl als Summe zweier Quadrate}
\begin{theorem}
Eine Primzahl $p$ kann genau dann als Summe zweier Quadrate geschrieben werden, wenn entweder $p
\equiv 1 \textmd{ mod } 4$ oder $p = 2$ ist. Eine solche Darstellung ist bis auf die Reihenfolge
eindeutig.
\end{theorem}
\begin{proof}
Die quadratischen Reste modulo $4$ sind $0$ und $1$. Die Summen von zwei quadratischen Resten sind
$0,1, 2$. Dann muss für eine Primzahl $p=a^2+b^2$ entweder $p\equiv 0 \textmd{ mod } 2$, was nur der
Zahl $p= 2= 1^2+1^2$ entspricht, oder \hspace{1 mm} $p \equiv 1 \textmd{ mod } 4$ gelten.\\
Umgekehrt, sei $p \equiv 1 \textmd{ mod } 4$.
Wir betrachten die Gleichung $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$. Die prime Restklassengruppe
$(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ ist zyklisch der Ordnung $p-1$ [vgl.[9], Folgerung 6.2.2, Korollar 6.1.2].
Wegen der Zyklizität besitzt $(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ mindestens ein primitives Element $g$, so dass
$g ^{j} \not\equiv 1 \textmd { mod } p$ für $1 \le j \le p-2$. Das primitive Element heißt
\textit{das erzeugende Element}, weil es
für jedes $ a\in(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ ein eindeutig bestimmtes $j$ gibt mit $0 \le j \le p-2$ und
$ g^j \equiv a \textmd{ mod } p$,
d.h. es wird eine Potenz $j$ zu jedem Element $a\in(\mathbb{Z}/(p))^{*}$ zugeordnet.\\
Für die Existenz eines solchen $j$ zu $\sqrt{-1}$ wenden wir einen Gruppenisomorphismus an [vgl.[1],
Bemerkung 5.6]:
\begin{eqnarray}
\big( \mathbb{Z}/(p-1), + \big)& \longrightarrow & \big( (\mathbb{Z}/(p))^{*}, \cdot \big),\\
j & \longmapsto & g^j. \nonumber
\end{eqnarray}
Sei $p = 4k + 1$ mit $k \in\mathbb{N}$, dann sieht die Abbildung (1.2) folgendermaßen aus
\begin{eqnarray}
\frac{p-1}{2} = 2k \mapsto -1, \nonumber
\end{eqnarray}
da dies das einzige Element $\neq 1$ ist, dessen Quadrat $1$ ist. Und
\begin{center}
$k \mapsto \sqrt{-1}$.
\end{center}
Also ist die Kongruenz $t^2 \equiv -1 \textmd{ mod } p$ lösbar, d.h. es gibt ein $m \in \mathbb{N}$,
so dass $mp = t^2+1$ ist.
Die Gleichung $mp = t^2+1$ in $\mathbb{Z}[i]$ sieht folgendermaßen aus:
\begin{center}
$mp = t^2+1 = (t+i)(t-i).$
\end{center}
Wäre $p$ eine {\sc Gauss\sc}sche Primzahl, dann gelte $p|t +i$ oder $p|t-i$. Aber es gibt
\begin{eqnarray}
\textmd{ weder } & t + i = p(u + vi) = pu + pvi & \textmd{ mit } pv = 1 \nonumber\\
\textmd{ noch } & t - i = p(z + wi) = pz + pwi & \textmd{ mit } pw = 1, \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $u + vi, z + wi \in\mathbb{Z}[i]$.
Also ist $p$ keine {\sc Gauss\sc}sche Primzahl und gemäß Satz 1.9 eine Norm, die eine Summe von zwei
Quadraten ist.\\
Wir kommen zur Eindeutigkeit. \\
Es ist $p = a^2 +b^2= N(x) = x \cdot \overline{x}$ mit $x = a + bi$. Nach Satz 1.9 ist $x$ eine {\sc
Gauss\sc}sche Primzahl.
Die Zahl $p = q_1q_2$ in $\mathbb{Z}[i]$ keine {\sc Gauss\sc}sche Primzahl, dann sind die Faktoren
$q_1, q_2$ zueinander nicht assoziiert. Wir setzen $q = q_1$, dann ist $p = q \overline{q}$.\\
Also muss wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von $p$ die Zahl $x$ eine zu $q$ oder
$\overline{q}$ assoziierte {\sc Gauss\sc}sche Zahl sein und $\overline{x}$ assoziiert zu der anderen
der beiden.
\end{proof}
\subsection{Elemente im Restklassenring $\mathbb{Z}/(p)$ als Summe zweier Quadrate}
In nächstem Kapitel, wo wir die natürlichen Zahlen als Summe von vier Quadraten betrachten, brauchen
wir die Darstellung der Elemente aus dem Ring $\mathbb{Z}/(p)$ als Summe von zwei Quadraten.
\begin{theorem}
Sei $p$ eine Primzahl. Zu jedem $x$ im Restklassenring $\mathbb{Z}/(p)$ gibt es\\ $a, b
\in\mathbb{Z}/(p)$ mit $x = a^2 + b^2$ in $\mathbb{Z}/(p)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
$p = 2$: Dann ist jedes Element aus $\mathbb{Z}/(2)$ ein Quadrat. Deshalb gibt es für jedes Element
trivialerweise eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten.\\
$p > 2$: Um eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten für eine ungerade
Primzahl zu erhalten, verwenden wir die Abbildung
\begin{center}
$\varphi: \mathbb{Z}/(p) \longrightarrow \mathbb{Z}/(p)$, \hspace{3 mm} $a \mapsto a^2$,
\end{center}
und erhalten dadurch als Bild der Abbildung alle Quadrate in $\mathbb{Z}/(p)$. Die Anzahl der
Bildelemente beträgt $\frac{p + 1}{2}$ [vgl.[1], Satz 7.1].
Als Nächstes wählen wir die Abbildung
\begin{center}
$ \psi : \mathbb{Z}/(p) \longrightarrow \mathbb{Z}/(p)$, \hspace{3 mm} $z \mapsto x - z$.
\end{center}
Die Funktion $\psi$ ist bijektiv.
Wir komponieren die beiden Abbildungen zu
\begin{center}
$\psi \circ \varphi: \mathbb{Z}/(p) \longrightarrow \mathbb{Z}/(p)$, \hspace{3 mm} $a \mapsto {x -
a^2}.$
\end{center}
Das Bild dieser Abbildung enthält wieder $\frac{p + 1}{2}$ Elemente, da $\psi$ bijektiv ist und die
Anzahl der Bildelemente sich nicht verändert.
Ist $x$ ein Quadratrest modulo $p$, dann sind wir fertig. \\
Das Bild der komponierten Abbildung liefert wieder $\frac{p + 1}{2}$ Elemente und davon gibt es
höchstens $\frac{p - 1}{2}$ Nichtquadrate. Also gibt es mindestens
$\frac{p + 1}{2} - \frac{p - 1}{2} = 1$ Quadrate vom Bild.
\end{proof}
\section{Natürliche Zahlen als Summe zweier Quadrate}
Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat jede natürliche Zahl $n$ eine eindeutige
Primfaktorzerlegung. Alle Primfaktoren, die als Summe von zwei Quadraten darstellbar sind, haben wir
im Abschnitt 1.2 bestimmt. In diesem Abschnitt zeigen wir, welche natürlichen Zahlen sich als Summe
zweier Quadrate darstellen lassen und die Rolle der anderen Primfaktoren in einer solchen
Darstellung.\\
\begin{theorem}
Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann eine Summe zweier Quadrate, wenn der Exponent von jedem
Primfaktor $p\equiv 3 \textmd{ mod } 4$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gerade ist.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $n = m \cdot x$ mit
\begin{eqnarray}
\textmd{$m$ ist das Produkt von allen Primfaktoren \hspace{3 mm}} p \equiv 3 \textmd{ mod } 4 &
\textmd{ und} \nonumber \\
\textmd{$x$ ist das Produkt von allen Primfaktoren \hspace{3 mm}} p \not\equiv 3 \textmd{ mod } 4,&
\nonumber
\end{eqnarray} wobei $m, x\in \mathbb{N}$.\\
Die Primfaktoren $p \not\equiv 3 \textmd{ mod } 4$ sind keine {\sc Gauss\sc}schen Primzahlen und
sind gemäß Satz 1.9 Normen. Dann ist
\begin{center}
$ x = p_1 \cdot \ldots \cdot p_s = N(p_1^{'}) \cdot \ldots \cdot N(p_s^{'}) = N(p_1^{'} \cdot
\ldots \cdot p_s^{'}) = a^2 + b^2$
\end{center}
mit $p_j\in\mathbb{Z}[i]$. Also ist $x$ eine Summe zweier Quadrate.\\
\\
Sei $m$ eine Quadratzahl, $m = c^2$ d.h. dass der Exponent von allen Primfaktoren $p \equiv 3
\textmd{ mod } 4$ in $n$ gerade ist, dann ist
\begin{center}
$n = c^2(a^2 + b^2) = {(ca)}^2 + {(cb)}^2$
\end{center}
Also ist $n$ Summe von zwei Quadraten.\\
Umgekehrt, sei $n = a^2 +b^2$ und $\operatorname{ggT}(a,b)=d$. Dann gilt $d^2| \hspace{1mm} n$.
\begin{eqnarray}
n_1 = \frac {n }{d^2} = \frac {a^2}{d^2} + \frac {b^2}{d^2} = {a_1}^2 + {b_1}^2\textmd{ mit }
\operatorname{ggT} (a_1, b_1) = 1.\nonumber
\end{eqnarray}
Es ist $\operatorname{ggT}(n_1, a_{1}b_{1}) = 1$. Ist nämlich $p$ ein Primteiler von $n_{1}$ und
wäre $p$ auch ein Teiler von $a_1$, so wäre $p| n-a_1^{2} =b_1^{2}$ und damit wäre $p|b_1$ im
Widerspruch zur Teilerfremdheit von $a_1$ und $b_1$, also ${p}\not|{a_{1}b_{1}}$. \\
Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(p)$ ist ein Körper und sei $[b_{1}] \in \mathbb{Z}/(p)$ die
Restklasse. Daraus folgt, dass für die Restklasse $[b_{1}]$ eine inverse Restklasse $[k]\in
\mathbb{Z}/(p)$ existiert, so dass $[b_{1}][k] = [1]$ ist.
Dann ist $b_{1}k \equiv 1\textmd{ mod } p$. Es ist \hspace{1 mm} $p| {a_1}^2 + {b_1}^2$ \hspace{1
mm} d.h.
\begin{eqnarray}
{a_1}^2 + {b_1}^2 & \equiv & 0 \textmd{ mod } p \nonumber\\
{(a_1 k)}^2 + {(b_1 k)}^2 & \equiv & 0 \textmd{ mod } p \nonumber\\
{(a_1 k)}^2 + 1 & \equiv & 0 \textmd{ mod } p \nonumber\\
{(a_1 k)}^2 & \equiv & -1 \textmd{ mod } p. \nonumber
\end{eqnarray}
Also gibt es einen quadratischen Rest $-1$ modulo $p$. Dies ist aber für $p\equiv 3 \textmd{ mod } 4$
nicht möglich wegen einer ähnlichen Überlegung wie im Beweis von Satz 1.13. Also hat die Zahl $n_1$
keine Primfaktoren $p\equiv 3 \textmd{ mod } 4$. Sie können in $d^2$ und nur mit einem geraden
Exponenten vorkommen.
\end{proof}
