\chapter{Quaternionen und Summe von vier Quadraten}
Das Ziel dieses Kapitels ist die Betrachtung der Darstellung einer beliebigen natürlichen Zahl $n$
als Summe von vier Quadraten. Dafür lernen wir die Quaternionen kennen, die als Zahlen im
vierdimensionalen $\mathbb{R}$-Vektorraum definiert sind. Danach definieren wir die Verknüpfungen
Addition und Multiplikation anschließend betrachten wir einige wichtige Eigenschaften. Am Ende des
Kapitels beweisen wir den Satz von { \sc Lagrange, \sc} den \glqq Vier-Quadrate-Satz\grqq, mit Hilfe
der neu gelernten Zahlen und eines weiteren Satzes.
\section{Quaternionen - {\sc Hamilton\sc}sche Zahlen}
{\sc William Rowan Hamilton\sc}\footnote{Sir William Rowan {\sc Hamilton\sc} (* 4. August 1805 in
Dublin; \dag 2. September 1865 in Dunsink, bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker.}
hatte die komplexen Zahlen als Zahlenpaare angegeben. Dieses war der Ausgangspunkt des Interesses an
der Frage, ob eine entsprechende Form im Raum $\mathbb{R}^3$ existiert. {\sc Hamilton\sc} hat
jahrelang gehofft, eine Multiplikation für reelle Tripel mit guten Eigenschaften zu finden; heute
weiß man, dass keine solche existiert [vgl.[3], 7. §1.1]. Am 16. Oktober 1843 hat Sir {\sc
Hamilton\sc} auf dem Wege zur Sitzung der Royal Irish Academy einen genialen Einfall gehabt. Er hat
verstanden, dass diese Produktregel gilt, wenn man bereit ist, die Kommutativität zu opfern und
damit in eine neue Dimension zu springen. \\
Die weitere Details der Entdeckungsgeschichte der Quaternionen kann in der Broschüre \glqq {\sc
Hamilton\sc}s Entdeckung der Quaternionen, Erweiterte Fassung einen Vortrages\grqq \hspace{1 mm}[13]
von {\sc Bartel Leendert van der Waerden\sc} nachgelesen werden.\\
Die neu entdeckten Quaternionen\footnote{von lat. quaternio - Vierheit.}, welche mit einem Realteil
und drei Imagin"arteilen eine Erweiterung der komplexen Zahlen bilden, nennt man {\sc Hamilton\sc}
zu Ehren \textit{{\sc Hamilton\sc}-Zahlen} und wir bezeichnet sie mit $\mathbb{H}$.\\
Nach der Entdeckung der Quaternionen-Algebra ist klar geworden, dass man die Rechengesetze für
Quaternionen schon früher besessen hatte. So z.B. treten die Quaternionenformeln in einer kurzen
Note über \textit{Mutationen des Räumes} von {\sc Gauss\sc} 1819 auf, auch ist der
Vier-Quadrate-Satz eine typische Produktregel für Quaternionen.\\
\begin{defin}
Seien $a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}$ und $i,j,k$ Symbole. Die Zahl\\
\begin{equation}
x := (a_1, a_2, a_3, a_4) := a_1 + a_2i + a_3j + a_4k, \nonumber
\end{equation}
heißt eine \textit{Quaternion}.
\end{defin}
Die {\sc Hamilton\sc}-Zahlen sind die geordneten reellen Quadrupel im vierdimensionalen
$\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}^{4}$ mit Standardbasis
\begin{center}
$1 := (1, 0, 0, 0)$, $i := (0, 1, 0, 0)$, $j := (0, 0, 1, 0)$ und $k := (0, 0, 0, 1)$.
\end{center}
Wir definieren die Verknüpfungen \textit{Addition, Multiplikation} und die Relation
\textit{Gleichheit} für die {\sc Hamilton\sc}-Zahlen.\\
\begin{defin}
Seien $x = a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k, \hspace {1 mm} y = b_{1} + b_{2}i + b_{3}j + b_{4}k$
\hspace{1 mm} Quaternionen und $c \in \mathbb{R}$.\\
\begin{enumerate}
\item \textit{Zwei Quaternionen sind dann gleich}, wenn sie in allen Komponenten "ubereinstimmen:
\begin{center}
$x = y \hspace{3 mm} \Leftrightarrow \hspace{3 mm} a_{1} = b_{1}, \hspace{1 mm} a_{2} = b_{2},
\hspace{1 mm} a_{3} = b_{3}, \hspace{1 mm} a_{4} = b_{4}$.
\end{center}
\item \textit{Die Addition von Quaternionen} ist komponentenweise definiert:
\begin{center}
$x+y = (a_{1}+ b_{1}) + (a_{2}+ b_{2})i+(a_{3}+ b_{3})j+(a_{4}+ b_{4})k$.
\end{center}
\item \textit{Die Multiplikation einer Quaternion mit Skalar} ist komponentenweise definiert:
\begin{center}
$cx = ca_{1} + ca_{2}i + ca_{3}j + ca_{4}k$.
\end{center}
\item Die Rechenregeln
\begin{eqnarray}
i \cdot j = k & \textmd{ und } & j \cdot i = -k \nonumber\\
j \cdot k = i & \textmd{ und } & k \cdot j = -i\nonumber\\
k \cdot i = j & \textmd{ und } & i \cdot k = -j\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
i^2=j^2=k^2=ijk = -1\nonumber
\end{eqnarray}
heißen \textit{{\sc Hamilton\sc}sche Regeln}.
\item \textit{Die Multiplikation von zwei Quaternionen} wird definiert durch assoziierte
Fortsetzung der {\sc Hamilton\sc}schen Regeln:
\begin{eqnarray}
x \cdot y & = & (a_1 + a_2i + a_3j + a_4k) \cdot (b_1 + b_2i + b_3j + b_4k) \nonumber \\
& = & a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 \nonumber \\
& & + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3) \cdot i \nonumber \\
& & + (a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2 ) \cdot j \nonumber \\
& & + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2+ a_4 b_1) \cdot k. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{bemerkung}
Die Multiplikation der Imaginärteile aus $\mathbb{H}$ ist nicht kommutativ.
\end{bemerkung}
\begin{defin}
Die Menge
\begin{eqnarray}
\mathbb{H} := \{ (a_1, a_2, a_3, a_4) \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} a_i \in \mathbb{R}
\hspace{0.25cm} \textmd{ f"ur alle } i = 1, \ldots, 4 \} \nonumber
\end{eqnarray} mit den in Definition 2.2 definierten Verkn"upfungen hei"st die \textit{Menge der
Quaternionen}.
\end{defin}
Jetzt möchten wir die Darstellung einer Quaternion in der Matrixform betrachten. Dies erleichtert
den Nachweis ihrer Eigenschaften.
\subsection*{Quaternion in der Form $4 \times 4$ Matrix} %*********
Außer der Darstellung einer Quaternion $x = a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k$ als Zahl kann $x$ als
eine Matrix im Raum $\mathbb{R}^{4\times 4}$ geschrieben werden.
Dazu multiplizieren wir die {\sc Hamilton\sc}-Zahl $x$ mit den Basisvektoren ($1,i,j,k$). Danach
werden die Ergebnisse in die Standard-Reihenfolge gebracht. Dies ergibt die Spalten der Matrix
$M(x)$. Es ist
\begin{eqnarray}
(a_1 + a_2i + a_3j + a_4k)\cdot{1} & = & a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}{k} \nonumber\\
(a_1 + a_2i + a_3j + a_4k)\cdot{i} & = & a_{1}{i} - a_2 - a_3 {k} + a_4 {j} \nonumber\\
(a_1 + a_2i + a_3j + a_4k) \cdot{j} & = & a_{1}{j} + a_{2}{k} - a_{3} - a_{4}{i} \nonumber\\
(a_1 + a_2i + a_3j + a_4k)\cdot{k} & = & a_{1} {k} - a_{2}{j} + a_{3} {i} - a_{4}. \nonumber
\end{eqnarray}\\
Also sieht die Matrix folgendermaßen aus:\\
\begin{equation}
M(x) = \left(
\begin{array}{cccc}
a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_4 \\
a_2 & a_1 & -a_4 & a_3 \\
a_3 & a_4 & a_1 & -a_2 \\
a_4 & -a_3 & a_2 & a_1 \\
\end{array}
\right). \nonumber
\end{equation}\\
Bei den Quaternionen war anfangs nicht klar, ob die Multiplikation der Imaginärteile assoziativ ist.
Wir wissen, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, weil $Mat(n \times n, \mathbb{R})$ ein
Ring ist. Wir zeigen, dass $M(xy) = M(x)M(y)$ gilt und können daraus schließen, dass die
Quaternionen- Multiplikation assoziiert ist.\\
Zuerst berechnen wir das Produkt von Matrizen von zwei Quaternionen. Sei\\
\begin{eqnarray}
M(x) =\left(
\begin{array}{cccc}
a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_4 \\
a_2 & a_1 & -a_4 & a_3 \\
a_3 & a_4 & a_1 & -a_2 \\
a_4 & -a_3 & a_2 & a_1 \\
\end{array}
\right), &
M(y) =
\left(
\begin{array}{cccc}
b_1 & -b_2 & -b_3 & -b_4 \\
b_2 & b_1 & -b_4 & b_3 \\
b_3 & b_4 & b_1 & -b_2 \\
b_4 & -b_3 & b_2 & b_1 \\
\end{array}
\right)\nonumber
\end{eqnarray}\\
mit $x, y \in \mathbb{H}$ und $a_{i}, b_{i} \in \mathbb{R}$ für alle $i = 1,\ldots,4$.\\
\\
Dann ist das Produkt von Matrizen M(x)M(y) =
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \\
c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} \\
\end{array}
\right),\nonumber
\end{equation}
wobei \\
$c_{11} = a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}, \hspace{7 mm} c_{12} = -a_{1}b_{2}
-a_{2}b_{1} - a_{3}b_{4} +a_{4}b_{3}$,\\
$c_{21} = a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} + a_{3}b_{4}- a_{3}b_{4},\hspace{7 mm} c_{22} = a_{1}b_{1}
-a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}$,\\
$c_{31} = a_{1}b_{3} -a_{2}b_{4} + a_{3}b_{1} +a_{4}b_{2},\hspace{7 mm} c_{32} = a_{1}b_{4}
+a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2}+ a_{4}b_{1}$,\\
$c_{41} = a_{1}b_{4} +a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2}+ a_{4}b_{1},\hspace{7 mm} c_{42} = -a_{1}b_{3}
+a_{2}b_{4} - a_{3}b_{1} -a_{4}b_{2}$,\\
$c_{13} = -a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4} - a_{3}b_{1} -a_{4}b_{2}, \hspace{7 mm} c_{14} = -a_{1}b_{4}
-a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2}- a_{4}b_{1}$,\\
$c_{23} = -a_{1}b_{4} -a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2}- a_{4}b_{1}, \hspace{7 mm} c_{24} = a_{1}b_{3} -
a_{2}b_{4} + a_{3}b_{1} + a_{4}b_{2}$,\\
$c_{33} = a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}, \hspace{10 mm} c_{34} = -a_{1}b_{2} -
a_{2}b_{1} - a_{3}b_{4} + a_{4}b_{3}$,\\
$c_{43} = a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} + a_{3}b_{4}- a_{4}b_{3}, \hspace{10 mm} c_{44} = a_{1}b_{1}
-a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}$ \\
mit $c_{ij} \in \mathbb{R}$ und $i, j = 1,\ldots, 4$ sind.\\
Als Nächstes berechnen wir die Matrix vom Produkt zweier Quaternionen. Dafür multiplizieren wir die
Quaternionen $x$ und $y$ als Zahlen und stellen das Produkt als Matrix nach dem oben benutzten
Verfahren.
\begin{eqnarray}
z = x \cdot y & = & (a_1 + a_2i + a_3j + a_4k) \cdot (b_1 + b_2i + b_3j + b_4k) \nonumber \\
& = & a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 \nonumber \\
& & + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3) \cdot i \nonumber \\
& & + (a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2 ) \cdot j \nonumber \\
& & + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2+ a_4 b_1) \cdot k, \nonumber \\
& & \nonumber
% z \cdot 1 & = & c_{11} + c_{21}i + c_{31}j + c_{41}k \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
z \cdot {i} & = & (a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4})\cdot {i} \nonumber \\
& & - a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1} - a_{3}b_{4} +a_{4}b_{3} \nonumber \\
& & +(-a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4} - a_{3}b_{1} -a_{4}b_{2}) \cdot {k} \nonumber \\
& & +(a_{1}b_{4} +a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2}+ a_{4}b_{1}) \cdot {j} \nonumber \\
& = & - a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1} - a_{3}b_{4} +a_{4}b_{3} \nonumber \\
& & +(a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4})\cdot {i} \nonumber \\
& & +(a_{1}b_{4} +a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2}+ a_{4}b_{1}) \cdot {j} \nonumber \\
& & +(-a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4} - a_{3}b_{1} -a_{4}b_{2}) \cdot {k}, \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
z \cdot {j} & = & (a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}) \cdot {j} \nonumber \\
& & + (a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} + a_{3}b_{4}- a_{4}b_{3}) \cdot {k} \nonumber \\
& & -a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4} - a_{3}b_{1} -a_{4}b_{2} \nonumber \\
& & + (-a_{1}b_{4} -a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2}- a_{4}b_{1}) \cdot {i} \nonumber \\
& = & -a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4} - a_{3}b_{1} -a_{4}b_{2} \nonumber \\
& & + (-a_{1}b_{4} -a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2}- a_{4}b_{1}) \cdot {i} \nonumber \\
& & + (a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}) \cdot {j} \nonumber \\
& & + (a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} + a_{3}b_{4}- a_{4}b_{3}) \cdot {k}, \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
z \cdot {k} & = & (a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}) \cdot {k} \nonumber \\
& & + (-a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} - a_{3}b_{4} + a_{4}b_{3}) \cdot {j} \nonumber \\
& & + (a_{1}b_{3} - a_{2}b_{4} + a_{3}b_{1} + a_{4}b_{2}) \cdot {i} \nonumber \\
& & -a_{1}b_{4} -a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2}- a_{4}b_{1} \nonumber \\
& = & -a_{1}b_{4} -a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2}- a_{4}b_{1} \nonumber \\
& & + (a_{1}b_{3} - a_{2}b_{4} + a_{3}b_{1} + a_{4}b_{2}) \cdot {i} \nonumber \\
& & + (-a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} - a_{3}b_{4} + a_{4}b_{3}) \cdot {j} \nonumber \\
& & +(a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2} - a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}) \cdot {k}. \nonumber
\end{eqnarray}\\
Wie man leicht sehen kann, gilt Folgendes:
\begin{eqnarray}
z \cdot 1 & = & c_{11} + c_{21}i + c_{31}j + c_{41}k \nonumber \\
z \cdot {i} & = & c_{12} + c_{22}i + c_{32}j + c_{42}k \nonumber \\
z \cdot {j} & = & c_{13} + c_{23}i + c_{33}j + c_{43}k \nonumber \\
z \cdot {k} & = & c_{14} + c_{24}i + c_{34}j + c_{44}k \nonumber
\end{eqnarray}\\
d.h. M(xy) =
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \\
c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} \\
\end{array}
\right).\nonumber
\end{equation}
\subsection*{Wichtige Eigenschaften der Quaternionen}
Die {\sc Hamilton\sc}-Zahlen sind die Erweiterung der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ und werden auch
die\textit{ hyperkomplexen Zahlen } genannt, da sie drei Imaginärteile haben. Die Darstellung einer
Quaternion in komplexer Zahlenform kann durch Adjunktion von $j \in \mathbb{H}$ zu $\mathbb{C}$
gewonnen werden [vgl.[4], 29.2].\\
\begin{bemerkung}
Sei $ \alpha = a_{1} +a_{2}i, \beta = a_{3} + a_{4}i \in\mathbb{C}$ und $x = a_1 +a_2i + a_3j +a_4k
\in \mathbb{H}$, wobei $j,k \not \in \mathbb{C}$. Dann gilt
\begin{center}
$x =(a_{1} +a_{2}i) + (a_{3} +a_{4}i)j = \alpha + \beta j$ für alle $x \in\mathbb{H}$.
\end{center}
\end{bemerkung}
Die meisten Eigenschaften der Quaternionen und Abbildungen über Quaternionen übertragen sich von
komplexen Zahlen, z.B. die Konjugation und die Norm einer Quaternion.\\
\begin{defin}
Seien $a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}$ und $x = (a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{H}$. Die
\textit{Konjugationsabbildung} wird definiert durch
\begin{center}
$\mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H}, \hspace{3 mm} x \longmapsto \overline{x}$,
\end{center}
wobei
\begin{eqnarray}
\overline{x} & = & \overline{(a_1, a_2, a_3, a_4)} = \overline{a_1 + a_2i + a_3j + a_4k} = a_1 -
a_2i - a_3j - a_4k \nonumber \\
& = & (a_1, - a_2, - a_3, - a_4). \nonumber
\end{eqnarray}
\end{defin}
Es gelten die folgenden Rechenregeln: \\
Seien $x = a_1 + a_2i + a_3j + a_4k$ und $y = b_1 + b_2i + b_3j + b_4k$. Dann ist
\begin{eqnarray}
\overline{x + y} & = & \overline{a_1 + a_2i + a_3j + a_4k + b_1 + b_2i + b_3j + b_4k} \nonumber \\
& = & \overline{a_1 + b_1 + (a_2 + b_2) \cdot i + (a_3 + b_3) \cdot j + (a_4 + b_4)
\cdot k} \nonumber \\
& = & a_1 + b_1 - (a_2 + b_2) \cdot i - (a_3 + b_3) \cdot j - (a_4 + b_4) \cdot k
\nonumber \\
& = & a_1 + b_1 - a_2i - b_2i - a_3j - b_3j - a_4k - b_4k \nonumber \\
& = & \underbrace{a_1 - a_2i - a_3j - a_4k}_{\overline{x}} + \underbrace{b_1 -
b_2i - b_3j - b_4k}_{\overline{y}} \nonumber \\
& = & \overline{x} + \overline{y}. \nonumber
\end{eqnarray}
Aber es gilt in $\mathbb{H}$ im Gegensatz zu $\mathbb{C}$:
\begin{eqnarray}
\overline{ x \cdot y} & = & \overline{(a_1 + a_2i + a_3j + a_4k) \cdot (b_1 + b_2i + b_3j + b_4k)}
\nonumber \\
& = & a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 \nonumber \\
& & - (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3) \cdot i \nonumber \\
& & - (a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2 ) \cdot j \nonumber \\
& & - (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2+ a_4 b_1) \cdot k \nonumber \\
& =& (b_1- b_2i - b_3j - b_4k)\cdot a_1 \nonumber \\
& & -(b_2 + b_1i - b_4j + b_3k)\cdot a_2 \nonumber \\
& & - (b_3 + b_4i + b_1j - b_2k) \cdot a_3 \nonumber \\
& & - (b_4 - b_3i + b_2j + b_1k) \cdot a_4 \nonumber \\
& =& (b_1- b_2i - b_3j - b_4k)\cdot a_1 \nonumber \\
& & -(-b_2i + b_1 - b_4k - b_3j)\cdot a_2i \nonumber \\
& & -(-b_3j - b_4k + b_1 - b_2i)\cdot a_3j \nonumber \\
& & - (-b_4k -b_3j -b_2i + b_1 )\cdot a_4k \nonumber \\
& =& \underbrace{(b_1- b_2i - b_3j - b_4k)}_{\overline{y}}\cdot \underbrace{(a_1- a_2i
- a_3j - a_4k)}_{\overline{x}}\nonumber \\
& =& \overline{y} \cdot \overline{x}. \nonumber
\end{eqnarray} Man spricht in einem solchen Fall von einem \textit{Antiautomorphismus}. \\
\begin{defin}
Seien $a_1, a_2, a_3, a_4 \in\mathbb{R}$ und $x = (a_1, a_2, a_3, a_4) \in\mathbb{H}$. Die Abbildung
$N$ heißt \textit{Norm} und wird definiert durch
\begin{eqnarray}
N: \mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H} \hspace{2 mm} \textmd{ mit } \hspace{2 mm}
N(x) := x \cdot \overline{x} \hspace{2 mm} \textmd{ für alle } x \in\mathbb{H}.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{defin}
\begin{bemerkung}
Sei $N(x)$ die Norm von $x \in\mathbb{H}$. Dann gilt
\begin{center}
$N(x) = x \cdot \overline{x} = \overline{x} \cdot x \hspace{2 mm} \textmd{ für alle } x \in
\mathbb{H}$.
\end{center}
\end{bemerkung}
Man rechnet
\begin{eqnarray}
N(x) & = & x \cdot \overline{x} \nonumber \\
& = & (a_1, a_2, a_3, a_4) \cdot (a_1, - a_2, - a_3, - a_4) \nonumber \\
& = & (a_1 a_1 + a_2 a_2 + a_3 a_3 + a_4 a_4, \nonumber \\
& & -a_1 a_2 + a_2 a_1 - a_3 a_4 + a_4 a_3, \nonumber \\
& & -a_1 a_3 + a_3 a_1 - a_4 a_2 + a_2 a_4, \nonumber \\
& & -a_1 a_4 + a_4 a_1 - a_2 a_3 + a_3 a_2) \nonumber \\
& = & (\sum_{i = 1}^{4} a_i^2, 0, 0, 0). \nonumber
\end{eqnarray}
Wie wir sehen, ist $N(x)$ eine Quaternion, in der die imaginären Teile gleich Null sind. Es erlaubt
uns $N(x) \in\mathbb{H}$ mit einer Zahl aus $\mathbb{R_+}$ zu identifizieren. Also
$N(x)\in\mathbb{R_+}$.\\
Man sieht, dass die Norm einer Quaternion eine Zahl als eine Summe von vier Quadraten gut beschreibt.
\\
\begin{theorem}
Die Norm ist multiplikativ, d.h. es gilt
\begin{equation}
N(x \cdot y) = N(x) \cdot N(y) \textmd{ für $x, y\in\mathbb{H}$.} \nonumber
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Es gilt
\begin{equation}
N(xy) = x \cdot y \cdot \overline{x \cdot y} = x \cdot y \cdot \overline{y} \cdot \overline{x} = x
\cdot N(y) \cdot \overline{x} = x \cdot \overline{x} \cdot N(y) = N(x) \cdot N(y). \nonumber
\end{equation}
\end{proof}
\begin{theorem}
$(\mathbb{H}, +, \cdot)$ ist ein Schiefkörper.
\end{theorem}
\begin{proof}
Seien $x, y, z \in \mathbb{H}$ mit $x = (a_1, a_2, a_3, a_4)$, $y = (b_1, b_2, b_3, b_4), z = (c_1,
c_2, c_3, c_4)$ und f"ur alle $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ mit $i = 1, \ldots, 4$.\\
\underline{($\mathbb{H}, +$) ist eine \textit{abelsche Gruppe}}:\\
($\mathbb{H}, +$) ist \textit{ abgeschlossen}: \\
Es ist $(\mathbb{R}, +)$ eine abelsche Gruppe. Und dann gilt mit Definition 2.2 im Punkt 2
\begin{center}
$x + y = (a_1 + b_1 , a_2 + b_2, a_3 + b_3, a_4 + b_4) \in \mathbb{H}$
\end{center}
($\mathbb{H}, +$) ist \textit{assoziativ und kommutativ}: \\
Oben haben wir die Darstellung der Quaternionen als $4\times 4$ Matrizen gesehen.
Nach der Assoziativität, der Kommutativität der Rechenregeln von Matrizen gilt es, dass
($\mathbb{H}, +$) assoziativ uns kommutativ ist.\\
($\mathbb{H},+$) besitzt \textit{ ein neutrales Element}: \\
Durch $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$ erhält man die Nullmatrix bzw. das Element
\begin{equation}
(0, 0, 0, 0) = 0 \in \mathbb{R}. \nonumber
\end{equation}
($\mathbb{H},+$) besitzt zu jedem beliebigen Element ein\textit{ Negatives}: \\
Dies folgt ebenfalls aus der Eigenschaft, dass die reellen Zahlen einen Körper bilden. Es lautet
$-x =(-a_1, -a_2, -a_3, -a_4) \in \mathbb{H}$.\\
\underline{($\mathbb{H}, \cdot$) ist \textit{ eine (nicht kommutative) Gruppe}}: \\
($\mathbb{H}, \cdot$) ist \textit{ abgeschlossen}: \\
Da sowohl die $a_s$ als auch die $b_s$ nach Voraussetzung reell sind, sind die Einträge der
Produkt-Quaternion in Definition 2.2 im Punkt 5 wieder reell, da $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ ein Körper
ist.\\
($\mathbb{H}, \cdot$) ist\textit{ assoziativ}: \\
Wegen der Matrizendarstellung der Quaternionen und der Assoziativität der Matrizenmultiplikation
gilt, dass ($\mathbb{H}, \cdot$) assoziativ ist.\\
($\mathbb{H}, \cdot$) besitzt \textit{ ein neutrales Element}: \\
Man erhält die Einheitsmatrix mit $a_1 = 1$ und $a_2 = a_3 = a_4 = 0$, was auf der Ebene der Zahlen
gesprochen, dem Element $(1, 0, 0, 0) = 1 \in \mathbb{R} \subset \mathbb{H}$ entspricht.\\
Zu jedem von Null verschiedenem Element $x \in \mathbb{H}$ existiert ein\textit{ Inverses }$x^{-1}
\in \mathbb{H}$:\\
Das multiplikative Inverse $x^{-1}$ zu $x$ kann leicht mit der Norm Abbildung [vgl. Definition 2.7]
gefunden werden.
Sei $x \neq 0$, dann ist mindestens ein $a_i \neq 0$ in $x$. Und folglich
\begin{eqnarray}
N(x) = x \overline{x} = \sum_{i = 1}^4 a_i^2 > 0. \nonumber
\end{eqnarray}
Also
\begin{eqnarray}
x^{-1} & = & \frac{\overline{x}}{ \sum_{i = 1}^{4} a_i^2 } \nonumber \\
& & \nonumber \\
& = & \frac{a_1 - a_2 i - a_3 j - a_4 k}{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2} \in \mathbb{H}.
\nonumber
\end{eqnarray}\\
Es gilt das \textit{ Links- bzw. Rechtsdistributivgesetz:} \\
Wegen der Nichtkommutativität bzgl. der Multiplikation muss man hier zwischen Multiplikation von
links und rechts unterscheiden. Beides folgt aus den Distributivgesetzen für Matrizen.
\end{proof}
Jetzt definieren wir analog zum {\sc Gauss\sc}schen Zahlenring $\mathbb{Z}[i] \subseteq \mathbb{C}$
einen Unterring des Schiefkörpers, nämlich $\mathbb{H}_\mathbb{Z}$.
\begin{defin}
Der \textit{Ring der ganzen Quaternionen} wird durch
\begin{equation}
\mathbb{H}_\mathbb{Z} := \{(a_1, a_2, a_3, a_4) \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} a_i \in \mathbb{Z},
\textmd{ für alle } \hspace{0.05 cm} i = 1, \ldots, 4 \}\nonumber
\end{equation} definiert.
Die Elemente des Ringes $\mathbb{H}_{\mathbb{Z}}$ heißen \textit{ganze Quaternionen}.
\end{defin}
Die Norm einer ganzen Quaternion ist offenbar eine natürliche Zahl. Gemäß Satz 2.9 gilt weiter, dass
das Produkt von zwei natürlichen Zahlen $m$ und $n$, die jeweils eine Summe von vier Quadraten sind,
auch eine Summe von vier Quadraten ist.\\
Für das Weitere brauchen wir den Begriff der Teilbarkeit und den der modularen Äquivalenz zweier
Elemente in $\mathbb{H}_{\mathbb{Z}}$. Diese Definition lehnt sich an die Definitionen an, wie wir
sie bereits für kommutative Ringe kennen. \\
\begin{defin}
Seien $x, y \in \mathbb{H}_{\mathbb{Z}}$ mit $x = (a_1, a_2, a_3, a_4)$ und $y = (b_1, b_2, b_3,
b_4)$. Sei weiter $m \in \mathbb{Z}$.
\begin{enumerate}
\item Dann heißt $m$ ein \textit{Teiler} von $x$, wenn $m$ jede Komponente von $x$ teilt:
\begin{eqnarray}
m | x \Longleftrightarrow m | a_s \hspace{1.0 cm} \textmd{ für alle } s = 1, \ldots, 4 \nonumber
\end{eqnarray}
d.h. es gibt ein $z \in \mathbb{H}_\mathbb{Z}$ mit
\begin{equation}
x = m \cdot z. \nonumber
\end{equation}
\item Zwei ganze Quaternionen heißen zueinander \textit{äquivalent modulo $m$}, wenn sie denselben
Rest bzgl. des Teilers $m$ besitzen:
\begin{equation}
x \equiv y \bmod m \Longleftrightarrow m | x - y \nonumber
\end{equation}
d.h., dass die Division durch $m$ der einzelnen Komponenten von $x$ und $y$ den gleichen Rest geben:
\begin{equation}
a_s \equiv b_s \bmod m \nonumber
\end{equation}
für $s = 1, \ldots, 4$.
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{lemma}
Seien $n \in \mathbb{Z}$ und $x, y, y'$ ganze Quaternionen. Dann folgt aus
\begin{equation}
y \equiv y' \bmod m \nonumber
\end{equation}
bereits
\begin{equation}
xy \equiv xy' \bmod m. \nonumber
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Nach dem Punkt 2 der vorhergehenden Definition lässt sich wegen der Äquivalenz von $y$ und $y'$ ein
$z \in \mathbb{H}_{\mathbb{Z}}$ finden, derart, dass
\begin{equation}
y - y' = m \cdot z. \nonumber
\end{equation}
Dann ist
\begin{equation}
xy - xy' = x \cdot (y - y') = x \cdot m \cdot z = m \cdot (x \cdot z), \nonumber
\end{equation}
was der obigen Behauptung entspricht.
\end{proof}
\section{Natürliche Zahlen als Summe von vier Quadraten}
Im ersten Kapitel der Arbeit haben wir die natürlichen Zahlen als Summe von zwei Quadraten
beleuchtet. Und damit haben wir gesehen, dass nicht jede natürliche Zahl sich in dieser Form
schreiben lässt.
In diesem Abschnitt zeigen wir, dass jede beliebige natürliche Zahl als Summe von vier Quadraten
darstellbar ist. Wir fangen mit einem Hilfssatz an.
\begin{theorem} Zu jeder Primzahl $p \geq 3$ gibt es $a, b, m \in \mathbb{N}$ derart, dass
\begin{equation}
a^2 + b^2 + 1 = mp, \nonumber
\end{equation}
wobei $0 < m < \frac{p}{2}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Nach Satz 1.14 existiert für jedes Element in $\mathbb{Z}/(p)$ eine Darstellung als Summe von zwei
Quadraten. Wir haben also insbesondere die Gleichung
\begin{center}
$a'^2 + b'^2 \equiv -1 \bmod p$ $\Longleftrightarrow$ $a'^2 + b'^2 + 1 \equiv 0 \bmod p $,
\end{center}
wobei $a', b'\in \mathbb{Z}$ sind. Da wir modulo $p$ rechnen können, wählen wir $a'$ und $b'$ aus
dem ganzzahligen Intervall $[0, p-1]$. Da wir negative Zahlen zulassen, können wir auch aus dem
Intervall $[\frac{-p + 1}{2}, \frac{p - 1}{2}]$ wählen. Da $a'^{2}$ und $b'^{2}$ natürliche Zahlen
sind, setzen wir $a = \left| a' \right|$ und $b = \left| b' \right|$, so dass $a^2 = a'^2$ und
$b^2 = b'^2$ ist. Dann gibt es ein $m\in\mathbb{N}$, so dass
\begin{center}
$a^2 + b^2 + 1 = mp$ gilt.
\end{center}
Wir schätzen dieses $m$ ab:
\begin{equation}
mp = a^2 + b^2 + 1 \leq 2 \cdot \Bigg( \frac{p - 1}{2} \Bigg)^2 + 1 = \frac{p^2 - 2 p + 3}{2} \leq
\frac{p^2 - 6 + 3}{2} < \frac{p^2}{2}. \nonumber
\end{equation}
Daraus folgt, dass $0 < m < \frac{p}{2}$ ist.
\end{proof}
Wie beweisen jetzt den Satz von {\sc Lagrange. \sc}
\begin{theorem}[\sc Lagrange \sc]
Jede natürliche Zahl ist Summe von vier Quadraten natürlicher Zahlen.
\end{theorem}
\begin{proof}
Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat jede natürliche Zahl $n$ eine eindeutige
Primfaktorzerlegung und wegen Satz 2.9 genügt es zu beweisen, dass die Primfaktoren eine
Darstellung als Summe von vier Quadraten besitzen. Für $n = 0, 1, 2$ ist die Aussage trivial.
\begin{eqnarray}
0 = 0 + 0 + 0 + 0 \nonumber \\
1 = 1 + 0 + 0 + 0 \nonumber \\
2 = 1 + 1 + 0 + 0. \nonumber
\end{eqnarray}
Sei $p$ eine ungerade Primzahl. Nach Satz 2.14 gibt es eine natürliche Zahl $n = mp$ als Summe von
drei Quadraten mit $0< m < \frac{p}{2}$. Sei nun $ m _0 < \frac{p}{2}$ und $m_0\in\mathbb{N}$
minimal mit der Eigenschaft, dass
\begin{eqnarray}
m_0 p = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 \hspace{2 mm}\textmd{ mit ganzen Zahlen } a_i \textmd{ und }
i = 1, \ldots, 4 \textmd{ ist.}
\end{eqnarray}
Zunächst nehmen wir an, dass $m_0$ gerade ist, dann ist das Produkt $m_0 \cdot p$ wieder gerade. \\
Dann müssen keine, zwei oder alle Zahlen $a_1, \ldots, a_4$ gerade sein. Nach Permutationen gilt,
dass die Quotienten
\begin{eqnarray}
\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_1 - a_2}{2}, \frac{a_3 + a_4}{2}, \frac{a_3 - a_4}{2} \textmd{ aus }
\mathbb{Z} \textmd{ sind.} \nonumber
\end{eqnarray}
Aber dann ist
\begin{eqnarray}
& & \Big(\frac{a_1 + a_2}{2} \Big)^2 + \Big(\frac{a_1 - a_2}{2}\Big)^2 + \Big(\frac{a_3 +
a_4}{2}\Big)^2 + \Big(\frac{a_3 - a_4}{2} \Big)^2 \nonumber \\
& & \nonumber \\
& = & \frac{1}{4} \cdot {((a_1 + a_2)^2 + (a_1 - a_2)^2 + (a_3 + a_4)^2 + (a_3 - a_4)^2 )}
\nonumber \\
& & \nonumber \\
& = & \frac{1}{2} \cdot (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2) = \frac{m_0}{2} \cdot p. \nonumber
\end{eqnarray}
Das ist ein Widerspruch zur Annahme der Minimalität von $m_0$.
Also muss $m_0$ ungerade sein. Im Fall $m_0 = 1$ sind wir fertig.
Wir nehmen jetzt an, dass $m_0 > 1$ ist. Wir führen die Division mit Rest für jedes $a_i$ aus (2.5)
durch $m_0$
\begin{eqnarray}
a_i = m_0 \cdot q_i + b_i,
\end{eqnarray}
wobei $q_i, b_i \in\mathbb{Z}$ und $b_i$ der Rest aus dem Intervall $]-\frac{m_0}{2}, \frac{m_0}{2}
[$ ist.
Wir betrachten nun $x = (a_1, a_2, a_3, a_4)$ und $y = (b_1, b_2, b_3, b_4)$ mit $x, y$ aus
$\mathbb{H}_\mathbb{Z}$.
Die Norm von $y$ ist die Summe der Quadratreste:
\begin{eqnarray}
N(y) = \sum_{i = 1}^4 b_i^2 < 4 \cdot (\frac{m_0}{2})^2 = m_0^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Wegen $a_i = m_0 \cdot q_i + b_i $ gilt, dass
\begin{center}
$a_i^2 = m_0^2 \cdot q_i^2 + 2 \cdot m_0 \cdot q_i \cdot b_i + b_i^2 = m_0 \cdot (m_0 \cdot q_i^2 + 2
\cdot q_i \cdot b_i) + b_i^2 $
\end{center}
ist. Die Norm von $x$ ist die Summe der $a_i^{2}$ aus (2.5):
\begin{eqnarray}
N(x) & = & \sum_{i = 1}^4 a_i^2 = \sum_{i = 1}^4 (m_0 \cdot (m_0 q_i^2 + 2 q_i \cdot b_i) + b_i^2)
\nonumber \\
& = & m_0 \cdot \underbrace{\sum_{i = 1}^4 (m_0 q_i^2 + 2 q_i \cdot b_i)}_{=: c} + \sum_{i =
1}^4 b_i^2 = m_0 \cdot c + N(y). \nonumber
\end{eqnarray}
Wir erhalten, dass
\begin{eqnarray}
N(x) - N(y) = m_0 \cdot c \Longrightarrow N(x) \equiv N(y) \equiv 0 \bmod m_0. \nonumber
\end{eqnarray}
Dann gibt es ein $m_1 \in \mathbb{N}$ derart, dass $N(y) = m_1 \cdot m_0$. Und wegen $N(y) < m_0^2$,
muss $m_1 < m_0$ sein. \\
Wäre $m_1 = 0$, dann $y = 0$ und damit sämtliche $b_i = 0$. Gemäß 2.9 wäre
\begin{eqnarray}
m_0 \cdot p = N(x) = \sum_{i = 1}^4 a_i^2 = \sum_{i = 1}^4 (m_0 \cdot q_i)^2 = m_0^2 \sum_{i = 1}^4
q_i^2 \nonumber
\end{eqnarray}
und es wäre
\begin{eqnarray}
p = m_0 \sum_{i = 1}^4 q_i^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Da aber $p$ eine Primzahl ist und $m_0 > 1$ und $m_0 < \frac{p}{2}$ ist, ist dies ein Widerspruch.\\
Also muss $m_1 \neq 0$ sein. Es ist $a_i - b_i = m_0 \cdot q_i$, d.h. $a_i \equiv b_i \bmod m_0$ und
gemäß Definition 2.12 und Lemma 2.13 gilt
\begin{eqnarray}
x & \equiv & y \bmod m_0 \nonumber\\
\overline{x} \cdot x & \equiv & \overline{x} \cdot y\bmod m_0. \nonumber
\end{eqnarray}
Weil \hspace{1 mm} $\overline{x} \cdot x = N(x) \equiv 0 \bmod m_0$ ist, ist dann auch $\overline{x}
\cdot y \equiv 0 \bmod m_0$. Dann gibt es ein $z \in \mathbb{H}_\mathbb{Z}$, so dass
\begin{eqnarray}
\overline{x}\cdot y = z \cdot m_0 \hspace{2 mm}\textmd{ und }\hspace{2 mm} z = \frac{1}{m_0} \cdot
\overline{x} \cdot y \textmd{ gilt.}\nonumber
\end{eqnarray}
Die Norm von $z$ ist
\begin{eqnarray}
N(z) & = & N \bigg(\frac{1}{m_0} \overline{x} \cdot y \bigg) = \frac{1}{m_0^2} \cdot N(\overline{x}
y) = \frac{1}{m_0^2} \cdot N(\overline{x}) \cdot N(y) \nonumber \\
& = & \frac{1}{m_0^2} \cdot N(x) \cdot N(y) = \frac{1}{m_0^2} \cdot m_0 \cdot p \cdot m_1
\cdot m_0 = m_1 \cdot p \nonumber
\end{eqnarray}
was ein Widerspruch zur minimalen Wahl von $m_0$ ergibt.
\end{proof}
