\chapter{Ternäre quadratische Formen und Summe von drei Quadraten}
In diesem Kapitel interessieren wir uns für die natürlichen Zahlen, die als Summe von drei Quadraten
ganzer Zahlen darstellbar sind. Um zu betrachten, welche natürliche Zahlen Summe von drei Quadraten
sind, führen wir den Begriff von ternären quadratischen Formen ein. Dieser Begriff ist eine
Erweiterung der binären quadratischen Formen. \\
Am Anfang des Kapitels werden die quadratischen Formen allgemein definiert, die im zweiten und
dritten Abschnitt als binäre und ternäre quadratische Formen betrachtet werden. Im dritten Abschnitt
kommen wir unmittelbar zum Beweis der Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von drei
Quadraten.\\
\section{Quadratische Formen}
In diesem und nächsten Abschnitten verwenden wir zwei Schriftarten. Mit lateinischen Buchstaben
bezeichnen wir Matrizen und mit kalligraphischen Buchstaben quadratische Formen.\\
\begin{defin}
a) Ein Polynom der Form
\begin{eqnarray}
\sum_{u,v = 1}^{n} a_{uv} x_{u} x_{v} =
\left(
\begin{array}{*{3}{c}}
x_1\! \! &\ldots \!\! &\! x_n \\
\end{array}
\right) A \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{array}
\right)\nonumber
\end{eqnarray}
mit symmetrischer Matrix $A = (a_{uv})$ und $A\in\mathbb{Z}^{n\times n}$ heißt \textit{quadratische
Form.}\\
\\
b) Die Zahl
\begin{center}
$D = \operatorname{det}A $
\end{center}
heißt die \textit{Determinante der quadratischen Form.}
\end{defin}
Diese quadratische Form kann man noch in der Form
\begin{center}
$x^{T}A x$ mit $x = \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{array}
\right)$ schreiben.
\end{center}
\begin{defin}
Eine quadratische Form $\sum_{u,v = 1}^{n} a_{uv} x_{u} x_{v}$ heißt \textit{positiv definit}, wenn
$x^{T}A x\ge 0$ und $x^{T}A x=0$ nur dann, wenn $x=0$ ist.
\end{defin}
Wenn in die quadratische Form bestimmte ganze Zahlen $x, y$ eingesetzt werden, dann enthält man eine
ganze Zahl $n$, und man sagt, dass die Form diese Zahl darstellt. Es ist
\begin{eqnarray}
U = \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
u_{11} & \ldots & u_{1n} \\
\vdots & \ddots& \vdots \\
u_{n1} & \ldots & u_{nn} \\
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
eine ganzzahlige Matrix mit $D = \pm 1$, dann ist auch $U^{-1}$ eine solche und die Abbildung
\begin{eqnarray}
y = \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
y_1 \\
\vdots \\
y_n \\
\end{array} \right)= U \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{array}
\right)~~ \textmd{bzw.} ~~
x = \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{array} \right)= U^{-1} \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
y_1 \\
\vdots \\
y_n \\
\end{array} \right)
\end{eqnarray}
bildet $\mathbb{Z}^n$ bijektiv auf sich selbst ab. Ist $x$ eine Basis, dann ist $y$ eine neue
Basis.\\
Eine solche Matrix bzw. lineare Abbildung heißt \textit{unimodular} [vgl.[12], IV. 8].\\
\begin{defin}
Zwei quadratische Formen mit Matrizen $H$ und $H^{'}$ heißen \textit{äquivalent,} wenn eine
unimodulare Matrix $U$ existiert, so dass
\begin{center}
$H = U^{T}H{'}U$
\end{center}
gilt, wobei $U^T$ die transponierte Matrix von $U$ ist.
\end{defin}
Es seien zwei quadratischen Formen $x^{T}A x$ und $y^{T}A{'} y$, die äquivalent durch eine
unimodulare Matrix $U$ aus Gleichung (3.1) sind. Dann ist
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{*{3}{c}}
x_1 &\ldots & x_n \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & \ldots & a_{nn} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
\vdots\\
x_n \\
\end{array}
\right) \text{äquivalent zu }\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{*{3}{c}}
x_1 & \ldots & x_n \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
u_{11} & \ldots & u_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
u_{1n} & \ldots & u_{nn} \\
\end{array} \right)& \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
a'_{11} & \ldots & a'_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a'_{1n} & \ldots & a'_{nn} \\
\end{array} \right) & \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
u_{11} & \ldots & u_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
u_{n1} & \ldots & u_{nn} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
\vdots\\
x_n \\
\end{array}
\right)\nonumber\\
= \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1\cdot u_{11}+ \ldots + x_n\cdot u_{1n} \\
\vdots\\
x_1\cdot u_{n1}+ \ldots + x_n\cdot u_{nn} \\
\end{array}
\right)^{T} & \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
a'_{11} & \ldots & a'_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a'_{1n} & \ldots & a'_{nn} \\
\end{array} \right) & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1\cdot u_{11}+ \ldots + x_n\cdot u_{1n} \\
\vdots\\
x_1\cdot u_{n1}+ \ldots + x_n\cdot u_{nn} \\
\end{array}
\right) \nonumber\\
= \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
y_1& \ldots & y_n \\
\end{array} \right) & \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
a'_{11} & \ldots & a'_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a'_{1n} & \ldots & a'_{nn} \\
\end{array} \right) & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
y_1 \\
\vdots\\
y_n \\
\end{array}
\right). \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{theorem}
Äquivalente Formen stellen dieselben Zahlen dar und haben dieselbe Determinante.
\end{theorem}
\begin{proof}
Es sei $U$ eine unimodulare Matrix und $x, y$ aus Gleichung (3.1). Seien $H$ und $H^{'}$ zueinander
äquivalente Matrizen. Dann gilt
\begin{eqnarray}
{x}^{T} H {x} & = & {x}^{T}(U^{T} H^{'} U) {x} \nonumber\\
& = & ({x}^{T} U^{T}) H^{'} (U {x}) \nonumber\\
& = & (U {x})^{T} H^{'} (U {x}) \nonumber\\
& = & {y}^{T} H^{'} {y} \nonumber
\end{eqnarray}
Es gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz
\begin{eqnarray}
\operatorname{det} H^{'} & = & \operatorname{det} (U^{T} H U)\nonumber\\
& = & \operatorname{det} U^{T} \cdot \operatorname{det} H \cdot \operatorname{det} U
\nonumber\\
& = & \operatorname{det} H \cdot \operatorname{det} U^{2} \nonumber\\
& = & \operatorname{det} H. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}
\begin{bemerkung}
a) Jede quadratische Form ist zu sich selbst äquivalent.\\
b) Zwei quadratische Formen, die zu einer dritten äquivalent sind, sind untereinander äquivalent.\\
c) Alle quadratische Formen mit Determinante $D$ zerfallen in Klassen äquivalenter Formen. (Da es
sich um eine Äquivalenzrelation handelt.)\\
\end{bemerkung}
\section{Binäre quadratische Formen}
Wir fangen mit der Definition einer binären quadratischen Form, die aus der allgemeinen Definition
folgt. Danach betrachten wir, wann eine binäre quadratische Form positiv definit ist und zeigen die
Äquivalenz zwischen zwei binären quadratischen Formen. Am Ende des Abschnittes betrachten wir eine
reduzierte quadratische Form.\\
Ein Polynom aus Definition (3.1) mit $n =2$ ist
\begin{center}
$ a_{11}x_{1}^2 + 2a_{12}x_{1}x_2 +a_{13}x_{2}^2 = (x_1 \hspace {2mm} x_2)\left(
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} & a_{12} \\
a_{12} & a_{22} \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right)$
\end{center}
und heißt \textit{binär}. Die Determinante von der binären quadratischen Form ist
\begin{center}
$D = \left|
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} & a_{12} \\
a_{12} & a_{22} \\
\end{array}
\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}^2.$
\end{center}
Die binäre quadratische Form $x^{T}Ax$ kann noch in der Form $\mathcal{A}(x_1, x_2)$ aufgefasst
werden. Wir setzen
\begin{center}
$a = a_{11}, \hspace{2 mm}b = a_{12}$ und $c = a_{22}$.
\end{center}
Im Folgenden werden wir uns an diese Bezeichnung halten.
Sei eine binäre quadratische Form $\mathcal{A}(x_1, x_2)$ mit
\begin{eqnarray}
a(ax_{1}^2 + 2bx_1 x_2 +cx_{2}^2) = (ax_1 + bx_2)^2 + Dx_{2}^2.
\end{eqnarray}
\begin{bemerkung}
Eine binäre quadratische Form $\mathcal{A}(x_1, x_2)$ mit Determinante $D$ ist genau dann
\textit{positiv definit}, wenn $a > 0$ und $D > 0$ gilt.
\end{bemerkung}
\begin{proof}
Die rechte Seite der Gleichung (3.2) ist bei $D> 0$ immer $\ge 0$ ist, d.h. dass eine quadratische
Form bei $D > 0$ ausschließlich Zahlen $\ge 0$ darstellen, wenn $a > 0$
ist. Die quadratische Form stellt die Zahl $0$ nur für $x_1 = x_2 = 0$ dar.
\end{proof}
\begin{theorem}
Jede definite Form $ax_1^{2} + 2bx_1 x_2 + cx_{2}^2$ mit positiver Determinante $D$ ist äquivalent
zu einer Form $a'y_{1}^{2} + 2b'y_1 y_2 + c'y_{2}^2$ mit
\begin{center}
$2|b'|\le a' \le c'$.
\end{center}
\end{theorem}
\begin{proof}
Es sei $ax_1^{2} + 2bx_1 x_2 + cx_{2}^2$ eine binäre quadratische Form. Und es sei $\tilde{a}$ die
kleinste darstellbare positive Zahl durch diese Form. Dann existieren ganze Zahlen $\alpha, \gamma$,
so dass
\begin{center}
$\tilde{a} = a\alpha^2 + 2b \alpha \gamma + c \gamma^2$ \hspace{2 mm} mit \hspace{2 mm}
$\operatorname{ggT}(\alpha, \gamma) = 1$
\end{center}
gilt. Wenn $\operatorname{ggT}(\alpha, \gamma)> 1$ wäre, so wäre $\tilde{a}$ nicht die kleinste Zahl.
Es sind Zahlen $\beta, \delta$ bestimmbar, so dass
\begin{center}
$\alpha \delta - \beta \gamma = 1$
\end{center}
gilt, d.h. dass eine Matrix $U = \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta \\
\end{array} \right) $ mit Determinante $1$ existiert.\\
Durch die durch $U$ definierte Substitution geht die Form $ax_{1}^2 + 2bx_1 x_2 +cx_{2}^2$ in die
äquivalente Form $a^{''}z_{1}^2 + 2b^{''}z_1 z_2 +c^{''}z_{2}^2$ über. Der erste Koeffizient der
neuen Form ist
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
\end{array}\right)^{T} \cdot \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
a^{''} & b^{''} \\
b^{''} & c^{''} \\
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
& = & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
\end{array}\right)^{T} \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta \\
\end{array}
\right)^{T} \cdot \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
\end{array}\right)\nonumber\\
& = & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
\alpha \\
\gamma \\
\end{array}\right)^{T} \cdot \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
\alpha \\
\gamma \\
\end{array}
\right) \nonumber\\
& = & \tilde{a}. \nonumber
\end{eqnarray}
Wir wollen eine weitere Substitution mit einer Matrix der Form $G = \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
1 & \beta^{''} \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)$ durchführen, der Koeffizient $\beta^{''}$ wird später genauer bestimmt.
Dabei geht die Form $a^{''}z_{1}^2 + 2b^{''}z_1 z_2 +c^{''}z_{2}^2$ in die Form $a'y_{1}^2 + 2b'y_1
y_2 + c'y_{2}^2$ über.\\
Die Einträge in der ersten Spalte vom Produkt$ \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
1 & 0 \\
\beta^{''} & 1 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
a^{''} & b^{''} \\
b^{''} & c^{''} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{*{2}{c}}
1 & \beta^{''} \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)$ sind
\begin{eqnarray}
a' & = & \tilde{a} \nonumber\\
b' & = & \tilde{a}\beta^{''} + b^{''}. \nonumber
\end{eqnarray}
Wegen $|b'| = |\tilde{a}\beta^{''} + b^{''} |$ kann $ \beta^{''}$ so gewählt werden, dass
\begin{eqnarray}
|b'|& \le & \frac{\tilde{a}}{2}\nonumber\\
& = & \frac{a'}{2}\nonumber
\end{eqnarray}
gilt. Da $c'$ durch $a'y_{1}^2 + 2b'y_1 y_2 + c'y_{2}^2$ auch darstellbar ist, d.h. $a' \le c'$ gilt
und daher ist
\begin{center}
$2|b'| \le a' \le c'$.
\end{center}
\end{proof}
\begin{defin}
Eine definite Form $ax_{1}^2 + 2bx_1 x_2 + cx_{2}^2$ mit positiver Determinante heißt
\textit{reduziert,} wenn \begin{center}
$2|b| \le a \le c$
\end{center}
ist.
\end{defin}
Nach der Definition 3.8 und Satz 3.7 gilt, dass zu jeder binären quadratischen Form eine äquivalente
reduzierte Form existiert.
\begin{theorem}
Sei $ax_{1}^2 + 2bx_1 x_2 + cx_{2}^2$ eine reduzierte Form mit Determinante $D$. Dann gilt
\begin{eqnarray}
a \le \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{D}. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
Die Determinante dieser Form ist
\begin{center}
$ac - b^2= D > 0$.
\end{center}
Nach Voraussetzung ist $ a \le c$, daher gilt
\begin{eqnarray}
a^2 & \le & ac \nonumber\\
& =& b^2 +D \nonumber\\
& \le & \frac{a^2}{4} + D, \hspace{3 mm}\textmd{daher ist}\nonumber\\
\frac{3}{4} a^2 & \le & D \hspace{14 mm} \textmd{und somit}\nonumber\\
a & \le & \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{D}. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}
\begin{korollar}
Sei $ax_{1}^2 + 2bx_1 x_2 + cx_{2}^2$ eine reduzierte Form mit Determinante $1$. Dann gilt
\begin{eqnarray}
a = c = 1 \hspace{3 mm} \textmd{ und } \hspace{3 mm} b = 0. \nonumber\
\end{eqnarray}
\end{korollar}
\begin{proof}
Es sei $ax_{1}^2 + 2bx_1 x_2 + cx_{2}^2$ eine reduzierte Form. Wegen $D = 1$ und des vorherigen
Satzes gilt
\begin{eqnarray}
a & \le & \frac{2}{\sqrt{3}}. \nonumber
\end{eqnarray}
Da $a$ aus $\mathbb{Z}$ ist, ist dann $a = 1$. Weiter gilt, dass $
b \le \frac{1}{2}$ ist, daher ist $b = 0$. Dann ist
\begin{eqnarray}
c & = & \frac{D + b^2}{a} = 1. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}
\section{Ternäre quadratische Formen}
Wir definieren eine ternäre quadratische Form und ihre Determinante. Danach werden ihre wichtigsten
Eigenschaften betrachtet und am Ende des Abschnittes beweisen wir einen Hilfssatz, der sagt, dass
eine positiv definite ternäre quadratische Form mit Determinante $1$ zu einer Summe von drei
Quadraten äquivalent ist. Dieser Satz ist ein Hilfsmittel für den nächsten Abschnitt.\\
Mit $n = 3$ ist allgemeine quadratische Form eine \textit{ternäre quadratische Form}
\begin{eqnarray}
\sum_{u,v = 1}^{3} a_{uv} x_{u} x_{v} = \mathcal{H}(x_1, x_2, x_3) = {x}^{T}H x & = & a_{11} x_{1}^2
+ 2 a_{12}x_1 x_2 + a_{22} x_2^{2}\nonumber\\
& & + 2 a_{13} x_1 x_3 + 2 a_{23} x_2 x_3 + a_{33} x_{3}^{2} \nonumber
\end{eqnarray}
mit
\begin{eqnarray}
x = \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{array} \right) \textmd{ und } \hspace{3 mm} H = \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array} \right), \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $x_1, x_2, x_3$ aus $\mathbb{Z}$ sind und $H$ eine symmetrische Matrix mit ganzzahligen
Koeffizienten ist.
Sei $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ eine ternäre quadratische Form mit Matrix $H=(a_{ij})$ aus
$\mathbb{Z}^{3\times 3}$. Dann ist die Zahl
\begin{eqnarray}
D = \left|
\begin{array}{*{3}{c}}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array} \right| = & a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{32} a_{13} + a_{21} a_{23} a_{31}\nonumber
\\
& - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{23} a_{32} a_{11}- a_{12} a_{21} a_{33} \nonumber
\end{eqnarray}
die \textit{ Determinante der ternären quadratischen Form.}
Von allen ternären quadratischen Formen sind die positiv definiten für uns von besonderem Interesse,
weil sie nur die Zahlen $\ge 0$ darstellen. Jetzt zeigen wir, welche Bedingungen von einer ternären
quadratischen Form erfüllt sind, wenn sie positiv definit ist.\\
\begin{lemma}
Sei $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3) = \sum_{u, v = 1}^{3} a_{uv} x_{u} x_{v}$ eine ternäre quadratische
Form. Dann ist $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ positiv definit genau dann, wenn
\begin{eqnarray}
a_{11}> 0,\hspace{5 mm} \left|
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right| >0 \hspace{5 mm} \textmd {und} \hspace{5 mm} \left|
\begin{array}{*{3}{c}}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
\right| >0 \textmd{ gilt.} \nonumber
\end{eqnarray}
\end{lemma}
\begin{proof}
Es ist
\begin{eqnarray}
a_{11} \mathcal{H} (x_1, x_2, x_3)& = & a_{11}^2 x_{1}^2 + a_{11} a_{22} x_2^{2} + a_{11} a_{33}
x_{3}^{2} + 2 a_{11} a_{12}x_1 x_2 + 2 a_{11} a_{13} x_1 x_3 + 2 a_{11} a_{23} x_2 x_3 \nonumber\\
& = & a_{11}^2 x_{1}^2 + a_{11} a_{22} x_2^{2} + a_{11} a_{33} x_{3}^{2} + 2 a_{11} a_{12}x_1
x_2 + 2 a_{11} a_{13} x_1 x_3 + 2 a_{11} a_{23} x_2 x_3 \nonumber\\
& & + a_{12}^{2} x_{2}^2 - a_{12}^{2} x_{2}^2 + 2a_{12} a_{13} x_2 x_3 - 2a_{12} a_{13}
x_2 x_3 + a_{13}^2 x_{3}^2 - a_{13}^2 x_{3}^2 \nonumber\\
& = & \underbrace{ a_{11}^2 x_1^2 + a_{12}^2 x_2^2 + a_{13}^2 x_3^2 + 2(a_{11} a_{12}x_1 x_2
+ a_{11} a_{13} x_1 x_3 + a_{12} a_{13} x_2 x_3)}_{}\nonumber\\
& & + a_{11} a_{22} x_2^{2} - a_{12}^{2} x_{2}^2 + 2a_{11} a_{23} x_2 x_3 - 2a_{12} a_{13}
x_2 x_3 + a_{11} a_{33} x_{3}^{2} - a_{13}^2 x_{3}^2 \nonumber\\
& = & (\underbrace{ a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_{3}}_{})^{2} + (a_{11} a_{22} -
a_{12}^2)x_{2}^2 + 2(a_{11} a_{23} - a_{12} a_{13})x_2 x_3 \nonumber\\
& & + (a_{11} a_{33}- a_{13}^2)x_{3}^2 \\
& = & (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3)^{2} + \mathcal{H'}(x_2, x_3),\nonumber
\end{eqnarray}
wobei $\mathcal{H'}(x_2, x_3)$ die binäre quadratische Form
\begin{center}
$(a_{11} a_{22} - a_{12}^2)x_{2}^2 + 2(a_{11} a_{23} - a_{12} a_{13})x_2 x_3 + (a_{11} a_{33} -
a_{13}^2)x_{3}^2$
\end{center}
ist. Die Determinante von $\mathcal{H'}(x_2, x_3)$ ist
\begin{eqnarray}
\left|
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} a_{22} - a_{12}^2 & a_{11} a_{23} - a_{12} a_{13} \\
a_{11} a_{23} - a_{12} & a_{11} a_{33} - a_{13}^2 \\
\end{array}
\right| & = & (a_{11} a_{22} - a_{12}^2) (a_{11} a_{33} - a_{13}^2 )-(a_{11} a_{22} - a_{12}^2)^{2}
\nonumber\\
& = & a_{11}\operatorname{det}H > 0, \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $H$ die Matrix von $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ ist. \\
Sei zuerst $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ positiv definit. Die Zahl $a_{11}$ eine darstellbare Zahl.
Also ist $a_{11}\ge 0$.
Ist $a_{11} = 0$, dann ist die Zahl $0$ für $x_1 = 1$ und $x_2 = x_3 = 0$ darstellbar, was nicht
erlaubt ist. Deswegen muss $a_{11} > 0$ sein.
Wir nehmen an, dass $\mathcal{H'}(x_2, x_3) = 0$ mit $(x_2, x_3)\neq (0,0)$.
Es kann ein solches $x_1$ ausgewählt werden, dass $a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = 0$ ist.
Somit ist $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ gleich Null. Aber das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Ist die Form $\mathcal{H'}(x_2, x_3) < 0$, dann entspricht sie dem negativen Wert von
$\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$, was nicht möglich ist. Daraus folgt, dass $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$
nur dann größer gleich Null ist, wenn $\mathcal{H'}(x_2, x_3)$ positiv definit ist. Gemäß Bemerkung
3.6 ist
\begin{eqnarray} \left|
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array} \right|> 0.\nonumber
\end{eqnarray}
Daraus folgt, dass die Determinante von $H$ positiv ist.\\
Umgekehrt, seien
\begin{eqnarray}
a_{11}> 0,\hspace{5 mm} \left|
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right| >0 \hspace{5 mm} \textmd {und} \hspace{5 mm} \left|
\begin{array}{*{3}{c}}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
\right| >0 , \nonumber
\end{eqnarray}
Also ist $\mathcal{H'}$ positiv definit.
Sei $\mathcal{H'}(x_2, x_3)= 0$, dann ist $x_2 = x_3 = 0$. Und die Gleichung (3.3) ist
$a_{11}\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)= a_{11}x_1$. Wegen $a_{11}>0$ kann $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$
nur dann gleich Null sein, wenn $x_1 = x_2 = x_3 = 0$ gilt.
\end{proof}
\begin{theorem}
Jede positiv definite ternäre quadratische Form mit Determinante $D$ ist äquivalent zu einer Form in
einer geeigneten Basis, für deren Matrix $A = (a_{uv})$ gilt
\begin{eqnarray}
2|a_{12}|\le a_{11}, \hspace{3 mm} 2|a_{13}|\le a_{11}, \hspace{3 mm} a_{11} \le \frac{4}{3}
\sqrt[3]{D}. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $a{'}_{11}$ die kleinste darstellbare natürliche Zahl von einer Form $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$
aus der Klasse aller äquivalenten Formen. Man kann zunächst die gegebene Form durch eine äquivalente
Form ersetzen, in welcher der erste Koeffizient dieses kleinste $a{'}_{11}$ ist. Es ist nämlich
\begin{center}
$a{'}_{11} = \mathcal{H}(c_{11},c_{21}, c_{31})$ \hspace{3 mm} mit \hspace{3 mm}
$\operatorname{ggT}(c_{11},c_{21}, c_{31})= 1$,
\end{center}
denn wenn $\operatorname{ggT}(c_{11},c_{21}, c_{31})> 1$ wäre, wäre $a'_{11}$ nicht die kleinste
darstellbare Zahl. Nun sei $\operatorname{ggT}(c_{11},c_{21})= d$.
Es gilt daher $c_{12}, c_{22}, \alpha, \beta $ aus $\mathbb{Z}$, so dass
\begin{center}
$c_{11}c_{22} - c_{12}c_{21}= d$ \hspace{3 mm} und \hspace{3 mm} $d\alpha - c_{31}\beta = 1$ gilt.
\end{center}
Dann ist die Determinante
\begin{eqnarray}
\operatorname{det}C = \left|
\begin{array}{*{3}{c}}
c_{11} & c_{12} & \frac{c_{11}}{d} \beta\\
c_{21} & c_{22} & \frac{c_{21}}{d} \beta\\
c_{31} & 0 & \alpha\\
\end{array}
\right| & = & c_{31}\cdot(\frac{c_{12} c_{21}}{d} \beta - \frac{c_{11} c_{22}}{d} \beta) + \alpha
\cdot(c_{11} c_{22} - c_{12} c_{21}) \nonumber\\
& = & \alpha \cdot d - c_{31}\cdot \beta \nonumber\\
& = & 1. \nonumber
\end{eqnarray}
Daraus folgt, dass die gegebene Form $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ zur Form $\mathcal{B}(x_1, x_2,
x_3)$ mit der Matrix $x^{T}(C^{T}HC)x$ äquivalent ist. Sei $B= (b_{ij})$ diese Matrix von
$\mathcal{B}$. Dann gilt, dass der Koeffizient
\begin{eqnarray}
b_{11} & = & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)^{T}\!\cdot B \cdot \!\left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right) \nonumber\\
& = & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)^{T}\!\cdot \!\left(
\begin{array}{*{3}{c}}
C^{T}\!\! &\! H \!& \!\! C\\
\end{array}
\right) \!\cdot \!\left(
\begin{array}{*{1}{c}}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right) \nonumber\\
& = & \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
c_{11} \\
c_{21} \\
c_{31}\\
\end{array}
\right)^{T}\! \cdot H \cdot\! \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
c_{11} \\
c_{21}\\
c_{31}\\
\end{array}
\right) \nonumber\\
& = & a'_{11} \nonumber
\end{eqnarray}
ist. Wir konstruieren eine ganzzahlige Matrix
\begin{eqnarray}
G = \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
1 & r & s \\
0 & t & u \\
0 & v & w \\
\end{array}
\right) \nonumber
\end{eqnarray}
mit der Eigenschaft $tw - uv = 1$ und $\operatorname{det}G= 1$. Die Koeffizienten werden später
genauer bestimmt.
Wir setzen
\begin{eqnarray}
x = \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{array} \right)= G \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
y_1 \\
y_2 \\
y_3 \\
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
und enthalten eine neue äquivalente Form
\begin{eqnarray}
\mathcal{A}(y_1, y_2, y_3) = {y}^{T}(G^{T} B G){y} \nonumber
\end{eqnarray}
mit der Matrix $A =G^{T}BG =(a_{nm})$. Die Elemente in der ersten Spalte von $A$, also das Produkt
$(b_{11} \hspace{1 mm} b_{12}\hspace{1 mm} b_{13}) \cdot G$, sind
\begin{eqnarray}
a_{11} & = & a{'}_{11},\nonumber\\
a_{12} & = & r a{'}_{11} + tb_{12} + vb_{13} \nonumber\\
a_{13} & = & s a{'}_{11} + ub_{12} + wb_{13}.\nonumber
\end{eqnarray}
Andererseits gilt
\begin{eqnarray}
b_{11}x_1 + b_{12}x_2 + b_{13} x_3 & = & \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
\end{array}
\right)\cdot G \cdot \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
y_{1} \\
y_{2}\\
y_{3}\\
\end{array}
\right) \\
& = & \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
\end{array}
\right)\cdot \left(
\begin{array}{*{1}{c}}
y_1 + ry_2 + sy_3 \\
ty_2 + uy_3 \\
vy_2 + wy_3 \\
\end{array}
\right)\nonumber\\
& = & b_{11}(y_1 + r y_2 +sy_3) + b_{12}(ty_2 + uy_3) + b_{13}(vy_2 + wy_3)\nonumber\\
& = & b_{11}y_1 + (rb_{11} + tb_{12} + vb_{13})y_2 + (sb_{11} +ub_{12} + wb_{13})y_3 \nonumber\\
& \stackrel{b_{11}=a_{11}}{=} & a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + a_{13}y_3. \nonumber
\end{eqnarray}
Nach Multiplikation wie in Gleichung (3.3) gilt weiter
\begin{eqnarray}
b_{11}\mathcal{B}(x_1, x_2, x_3) & = & (b_{11}x_1 + b_{12}x_2 + b_{13} x_3)^2 + \mathcal{B'}(x_2,
x_3),\nonumber\\
a_{11}\mathcal{A}(y_1, y_2, y_3) & = & (a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + a_{13} y_3)^2 + \mathcal{A'}(y_2,
y_3).\nonumber
\end{eqnarray}
Wegen der Gleichung (3.4) sind beide Quadrate gleich. Durch die unimodulare Substitution $\left(
\begin{array}{*{2}{c}}
t & u\\
v & w \\
\end{array}
\right)$ geht $\mathcal{B'}(x_2, x_3)$ in $\mathcal{A'}(y_2, y_3)$ über. Die beiden Formen sind
positiv definit. Es ist
\begin{eqnarray}
\mathcal{A'}(y_2, y_3)= (a_{11} a_{22} - a_{12}^2)y_{2}^2 + 2(a_{11} a_{23} - a_{12} a_{13})y_2 y_3
+ (a_{11} a_{33} - a_{13}^2)y_{3}^2\nonumber
\end{eqnarray}
mit Determinante $a_{11}\operatorname{det}A$. \\
Man kann so die Transformation wählen, dass $\mathcal{A'}(y_2, y_3)$ in eine reduzierte quadratische
Form übergeht [vgl. Satz 3.7 und Definition 3.8]. Wir nehmen also an, dass $\mathcal{A'}(y_2, y_3)$
reduziert ist. Gemäß Satz 3.9 gilt
\begin{eqnarray}
2|a_{11}a_{23} - a_{12}a_{13}| & \le & a_{11} a_{22} - a_{12}^2 \le a_{11} - a_{33}
a_{13}^2\nonumber\\
& & a_{11} a_{22} - a_{12}^2 \le \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{a_{11}\cdot
\operatorname{det}A}. \nonumber
\end{eqnarray}
Wir wählen $r$ so, dass
\begin{eqnarray}
|a_{12}| &\le & \frac{1}{2} a_{11} \nonumber
\end{eqnarray}
und $s$ so, dass
\begin{eqnarray}
|a_{13}| &\le & \frac{1}{2} a_{11} \nonumber
\end{eqnarray}
gilt. Da $a_{11}$ die kleinste darstellbare Zahl und $a_{22}$ auch darstellbar ist, ist dann
$a_{11}\le a_{22}$. Weiter gilt
\begin{eqnarray}
a_{11}^2 & \le & a_{11} a_{22} \nonumber\\
& = & a_{11} a_{22} + a_{12}^2 - a_{12}^2 \nonumber\\
& \le & \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{a_{11}\cdot \operatorname{det}A} + \frac{1}{4} a_{11}^2
\nonumber\\
\frac{3}{4}a_{11}^2 & \le &\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{a_{11} \cdot \operatorname{det}A}
\nonumber\\
( a_{11})^{\frac{3}{2}} & \le & \frac{8}{3 \sqrt{3}}\cdot \sqrt{\operatorname{det}A} \nonumber\\
a_{11} & \le & \sqrt[3]{\frac{64}{27}} \cdot \sqrt[3]{\operatorname{det}A} \nonumber\\
a_{11} & \le & \frac{4}{3} \sqrt[3]{\operatorname{det}A}.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}
Wir sind zum Hilfssatz des Kapitels gekommen.\\
\begin{korollar}
Jede positiv definite ternäre quadratische Form $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ mit Determinante $1$
ist äquivalent zu $x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{2}^2$.
\end{korollar}
\begin{proof}
Sei $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ eine ternäre quadratische Form mit der Determinante $1$.
Gemäß Satz 3.12 gibt es zu $\mathcal{H}(x_1, x_2, x_3)$ eine äquivalente Form mit Matrix $A
=(a_{ij})$ und mit
\begin{center}
$0 < a_{11} \le \frac{4}{3}\sqrt[3]{\operatorname{det}A}$.
\end{center}
Da $\mathcal{A}$ und $\mathcal{H}$ äquivalent sind, haben sie dieselbe Determinante. Es gilt
$a_{11} \le \frac{4}{3},$ also $a_{11}= 1$ . Für die ganzen Zahlen
\begin{eqnarray}
|a_{12}| \le \frac{1}{2} \hspace{3 mm} \textmd{ und } \hspace{3 mm} |a_{13}| \le \frac{1}{2}
\nonumber
\end{eqnarray}
gilt weiter, dass $a_{12} = a_{13} = 0$ und wegen der Symmetrie auch $a_{21} = a_{31} = 0$ sind.
Also ist
\begin{eqnarray}
A = \left(
\begin{array}{*{3}{c}}
1 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right). \nonumber
\end{eqnarray}
Es ist
\begin{eqnarray}
a_{11}\mathcal{A} - (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3)^{2}& = & (a_{11} a_{22} - a_{12}^{2})
x_{2}^2 + 2(a_{11} a_{23} - a_{12} a_{13}) x_2 x_3 \nonumber\\
& & + (a_{11} a_{33}- a_{13}^2) x_{3}^2 \nonumber\\
& = & a_{22} x_{2}^2 + 2a_{23} x_2 x_3 + a_{33}x_{3}^2 \nonumber
\end{eqnarray}
eine reduzierte quadratische Form mit der Determinante $1$ [vgl. Beweis von Satz 3.13].\\
Gemäß Korollar 3.10 für eine reduzierte quadratische Form mit Determinante $1$ gilt
\begin{center}
$a_{22} = 1$, \hspace{4 mm} $a_{23} = 0$ \hspace{4 mm} und \hspace{4 mm} $a_{33} = 1$.
\end{center}
\end{proof}
\section{Natürliche Zahlen als Summe von drei Quadraten}
\begin{theorem}
Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann als Summe von drei Quadraten darstellbar, wenn sie nicht in
der Form $n = 4^{a}(8m + 7)$ mit $a, m\in\mathbb{N}_0$ darstellbar ist.
\end{theorem}
\begin{proof}
Die Quadrate modulo $8$ gleich $0, 1, 4$. Die Summe von drei Quadraten modulo $8$ ist eine Zahl $0,
1, 2, 3, 4, 5$ oder $6$, aber nie $7$,
\begin{eqnarray}
0 + 0 + 0 & \equiv & 0 \bmod 8 \nonumber\\
0 + 0 + 1 & \equiv & 1 \bmod 8 \nonumber\\
0 + 1 + 1 & \equiv & 2 \bmod 8 \nonumber\\
1 + 1 + 1 & \equiv & 3 \bmod 8 \nonumber\\
0 + 0 + 4 & \equiv & 4 \bmod 8 \nonumber\\
0 + 4 + 4 & \equiv & 0 \bmod 8 \nonumber\\
4 + 4 + 4 & \equiv & 4 \bmod 8 \nonumber\\
1 + 1 + 4 & \equiv & 6 \bmod 8 \nonumber\\
1 + 4 + 4 & \equiv & 1 \bmod 8 \nonumber\\
0 + 1 + 4 & \equiv & 5 \bmod 8. \nonumber
\end{eqnarray}
Daher ist $8m + 7$ mit $m\in\mathbb{N}_0$ nicht die Summe von drei Quadraten.
Wenn für ein $a\ge 1$
\begin{center}
$n= 4^{a}(8m + 7)= x_1^{2} + x_2^{2} + x_3^{2}$
\end{center}
wäre, d.h. durch $4$ teilbar, dann wären die Zahlen $x_1, x_2, x_3$ gerade, wie es die obigen
Kongruenzen zeigen.
Mit $x_i = 2x_i^{'}$ für $i= 1,2,3$ und $ x_i^{'}$ aus $\mathbb{N}$ würde gelten
\begin{eqnarray}
4^{a}(8m + 7) & = & (2x_1^{'})^2 + (2x_2^{'})^2 + (2x_3^{'})^2 \nonumber\\
4^{a-1}(8m + 7) & = & (x_1^{'})^2 + (x_2^{'})^2 + (x_3^{'})^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Induktiv führt es zu einer Lösung
\begin{eqnarray}
8m + 7 = (\tilde{x}_1^{'})^2 + (\tilde{x}_2^{'})^2 + (\tilde{x}_3^{'})^2, \nonumber
\end{eqnarray}
die zum Widerspruch zum Fall $a = 0$ steht.\\
Jetzt möchten wir zeigen, dass eine Zahl $n \neq 4^{a}(8m + 7)$ als Summe von drei Quadraten
darstellbar ist.\\
Es darf ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, dass die Zahl $n$ ungerade oder das
Doppelte einer ungeraden Zahl ist, denn $4^{a}n$ mit $4 \not | n$ kann als Summe von drei Quadraten
genau dann dargestellt werden, wenn das für $n$ gilt. Also ist
\begin{center}
$n \equiv 1, 2, 3, 5, 6 \bmod 8$.
\end{center}
Nach dem vorherigen Abschnitt genügt es nur zu beweisen, dass eine positiv definite ternäre
quadratische Form $\sum_{u,v = 1}^{3} a_{uv}y_{u} y_{v}$ mit der Determinante $1$ existiert, welche
die Zahl $n$ darstellt, denn dann ist $n$ auch durch die äquivalente Form $x_1^{2} + x_2^{2} +
x_3^{2}$ darstellbar ist.
Es müssen also die folgenden Relationen erfüllt sein:\\
1) \hspace{3 mm} $n = a_{11} y_{1}^2 + 2 a_{12}y_1 y_2 + a_{22} y_2^{2} + 2 a_{13} y_1 y_3 + 2
a_{23} y_2 y_3 + a_{33} y_{3}^{2}\nonumber\\
\nonumber\\
2) \hspace{3 mm} a_{11} > 0 \nonumber\\
\nonumber\\
3) \hspace{3 mm} \left|
\begin{array}{*{2}{c}}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right| >0 \hspace{3 mm} \textmd {mit } \hspace{2 mm} a_{12}= a_{21} \nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
4) \hspace{3 mm} \left|
\begin{array}{*{3}{c}}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
\right| = 1.$ \nonumber
\\
Wir werden sehen, dass es mit
\begin{center}
$a_{23} = a_{32} = 0, \hspace{2 mm} a_{13}= a_{31}= 1$ \hspace{2 mm} und \hspace{2 mm} $y_1 = y_2 =
0, \hspace{2 mm}y_3= 1$
\end{center}
geht. Dann ist $n = a_{33}$.
Wir setzen
\begin{eqnarray}
a & = & a_{11} , \nonumber\\
b & = & a_{12} = a_{12}, \nonumber\\
c & = & a_{22}. \nonumber
\end{eqnarray}
Also ist
\begin{eqnarray}
\left|
\begin{array}{*{3}{c}}
a & b & 1\\
b & c & 0\\
1 & 0 & n\\
\end{array}
\right| = n(ac - b^2) -c = 1, \nonumber
\end{eqnarray}
d.h. die Bedingungen werden zu
\begin{center}
$a > 0,$ \hspace{2 mm} $ac - b^2= d > 0$ \hspace{2 mm} und \hspace{2 mm} $c= dn -1$.
\end{center}
Sei $n = 1$, dann gelten alle Relationen mit z.B. $a = 3, b= c = 1$ und $d= 2$.\\
Sei $n > 1$, dann ist wegen $d > 0$
\begin{eqnarray}
c & = &dn -1 \nonumber\\
& > & 0 \nonumber\\
ac & > & 0 \nonumber\\
a & > & 0 .\nonumber
\end{eqnarray}
Also, es muss gelten
\begin{center}
$ac -b^2 = d > 0$ \hspace{2 mm} und \hspace{2 mm} $ c = dn -1$.
\end{center}
Daraus folgt, dass $b^2 \equiv -d \bmod c$ ist, d.h. dass $-d$ ein quadratischer Rest modulo $dn -1$
ist. Dann bleibt zu beweisen:\\
Für jedes $n > 1$ mit $n \equiv 1, 2, 3, 5, 6 \bmod 8$ gibt es ein $d > 0$, so dass $-d$ ein
quadratischer Rest modulo $dn - 1$ ist.
Wir betrachten zwei Fälle.\\
\underline{1. Fall}: Es sei $n \equiv 2$ oder $6 \bmod 8$.\\
Es ist $\operatorname{ggT}(4n, n-1) = 1$. Nach dem Satz von {\sc Dirichlet\sc} existiert eine
Primzahl $p$ mit
\begin{center}
$p = 4nv + n- 1 = (4v + 1)n-1$,
\end{center}
wobei $v$ aus $\mathbb{N}$ ist [vgl.[8], Satz 1.3].
Wir setzen $d = 4v + 1$, dann ist $d > 0$ und $p = dn -1$. Wie wir sehen, ist $d$ ungerade.
Daher ist für ein gegebenes $n$ dieses $p \equiv 1 \bmod 4$, d.h. dass das {\sc Jacobi\sc}-Symbol
$(\frac{-1}{p})= 1$ ist.\\
Für jedes solches $p$ ist das {\sc Jacobi\sc}-Symbol
\begin{eqnarray}
\Big(\frac{-d}{p}\Big) = \Big(\frac{d}{p}\Big) = \Big(\frac{p}{d}\Big) = \Big(\frac{dn - 1}{d} \Big)=
\Big(\frac{-1}{d}\Big) = 1. \nonumber
\end{eqnarray}
[vgl.[1], Satz 8.8(2)].\\
\underline{2. Fall}: Es sei $n \equiv 1$ oder $3$ oder $5 \bmod 8$.\\
Wie setzen
\begin{eqnarray}
e =
\begin{cases}
1, \textmd{ falls } n \equiv 3 \bmod 8, \cr
3, \textmd{ falls } n \equiv 1 \textmd{ oder } 5 \bmod 8
\end{cases} \nonumber
\end{eqnarray}
\\
Die Zahl $ \frac{en -1}{2}$ ist ungerade, daher ist $\operatorname{ggT}(4n, \frac{en -1}{2})= 1$.
Nach dem Satz von {\sc Dirichlet\sc} existiert eine Primzahl $p$ mit
\begin{eqnarray}
p = 4nv + \frac{en -1}{2} = \frac{8nv + en -1}{2} = \frac{1}{2}((8v +e)n-1), \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $v\in\mathbb{N}$ ist.
Wir setzen $d = 8v +e$, dann ist $2p = dn -1$. Nun ist
\begin{eqnarray}
\textmd{für } n \equiv 1 \bmod 8: & d \equiv 3 \bmod 8 \textmd{ und } p \equiv 1 \bmod 4;
\nonumber\\
\textmd{für } n \equiv 3 \bmod 8: & d \equiv 1 \bmod 8 \textmd{ und } p \equiv 1 \bmod 4;
\nonumber\\
\textmd{für } n \equiv 5 \bmod 8: & d \equiv 3 \bmod 8 \textmd{ und } p \equiv 3 \bmod 4. \nonumber
\end{eqnarray}
In jedem dieser Fälle hat das {\sc Jacobi\sc} -Symbol $(\frac{-2}{d})$ den Wert $1$ [vgl.[1], Satz
8.8]. Daher gilt
\begin{eqnarray}
\Big(\frac{-d}{p}\Big) = \Big(\frac{-1}{p}\Big)\Big(\frac{d}{p}\Big) = \Big(\frac{-1}{p}\Big) \cdot
(-1)^{\frac{d -1}{2}\cdot \frac{p -1}{2}} \Big(\frac{p}{d}\Big).\nonumber
\end{eqnarray}
Für alle Fälle ist $\Big(\frac{-1}{p}\Big)(-1)^{\frac{d -1}{2}\cdot \frac{p -1}{2}} = 1$. Dann gilt
weiter
\begin{eqnarray}
\Big(\frac{-d}{p}\Big) = \Big(\frac{p}{d}\Big)\cdot 1 = \Big(\frac{p}{d}\Big) \Big(\frac{-2}{d}\Big)
= \Big(\frac{-2 p}{d}\Big) = \Big(\frac{1 - dn}{d}\Big) = \Big(\frac{1}{d}\Big) = 1. \nonumber
\end{eqnarray}
Also ist $-d$ quadratischer Rest modulo $p$ und auch modulo $2p$.
Die konkreten Lösungen können jetzt leicht ausgerechnet werden.
\end{proof}
