\chapter*{Einleitung}
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Eine Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten ist aus der Schule bekannt als
z. B. der Satz von {\sc Pythagoras\sc}\footnote{Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr.; \dag nach
510 v. Chr. in Metapont in der Basilicata) war ein antiker griechischer Philosoph (Vorsokratiker)
und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung.} für rechtwinklige Dreiecke
\begin{eqnarray}
25 & = & (\pm 3)^2 + (\pm 4)^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Weitere Beispiele kann man sich leicht überlegen. Als Summe von zwei Quadraten können die Zahlen
\begin{eqnarray}
5 = (\pm 1)^2 + (\pm 2)^2 \hspace{2 mm} \textmd{ und } \hspace{2 mm} 65 = (\pm 4)^2 + (\pm 7)^2
\nonumber
\end{eqnarray}
genannt werden. Andererseits gibt es Zahlen, die nicht als Summe von zwei Quadraten geschrieben
werden können, sondern nur als Summe von drei oder vier Quadraten, z.B. die Zahl
\begin{eqnarray}
62 = (\pm 2)^2 + (\pm 3)^2 + (\pm 7)^2 \hspace{2 mm} \textmd{ oder } \hspace{2 mm} 7 = (\pm 2)^2
+ (\pm 1)^2 + (\pm 1)^2 + (\pm 1)^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Außerdem haben die meisten Zahlen nicht nur eine Darstellung sondern mehrere, wobei in der
Darstellung das Vorzeichen und die Reihenfolge der Summanden berücksichtigt wird. Für die oben
gegebene Zahl $65$ gibt es zum Beispiel $16$ verschiedene Darstellungen, nämlich
\begin{eqnarray}
65 & = & (\pm 4)^2 + (\pm 7)^2 \nonumber\\
& = & (\pm 7)^2 + (\pm 4)^2 \nonumber\\
& = & (\pm 1)^2 + (\pm 8)^2 \nonumber\\
& = & (\pm 8)^2 + (\pm 1)^2. \nonumber
\end{eqnarray}
Das Interesse der Mathematiker an der Klärung, warum es solche Darstellungen gibt und wie viele
Darstellungen für eine natürliche Zahl existieren geht auf die Zeit von {\sc Diophant\sc} zurück.
Die ersten Erklärungen der Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten können
mit der Formulierung der Theorie der komplexen Zahlen angesehen werden, die {\sc Bombelli\sc} 1572
in seinem Buch "`Algebra"' dargelegt hat. Die Eigenschaft der imaginären Einheit (nämlich $i^2 = -1$)
fand zunächst keine Anerkennung in der Wissenschaft, obwohl die Mathematiker mit diesen Zahlen
einsehen könnten, dass eine Primzahl kongruent $1$ modulo $4$ als Summe von zwei Quadraten
darstellbar ist. {\sc Pierre de Fermat\sc}\footnote{Pierre de Fermat (* vermutlich Ende 1607 oder
Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne; \dag 12. Januar 1665 in Castres) war ein französischer
Mathematiker und Jurist.} ging anders vor. Er hat seine "`Methode des Abstieges"' benutzt, um die
Darstellungen solcher Primzahlen als Summe zweier Quadrate zu begründen. Den Satz für Primzahlen
$p \equiv 1 \bmod 4$ und $p =2$ hat {\sc Euler\sc} zwischen 1742 und 1747 bewiesen, und hat im
Beweis die Theorie der komplexen Zahlen und die Überlegungen von {\sc Fermat\sc} verwendet. Nachdem
er den Satz bewiesen hat, war es ihm nicht aufwändig zu zeigen, dass eine natürliche Zahl als Summe
von zwei Quadraten mit einem Primteiler auch als Summe von zwei Quadraten eine abgeleitete
Darstellung von ihren beiden Primteilern ist, wobei zweiter auch Summe von zwei Quadraten ist.\\
Die Geschichte der Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von drei Quadraten ist im Grunde die
Geschichte der Darstellung einer ternären quadratischen Formen mit bestimmten Eigenschaften in
solcher Form. Es wurde zuerst die Theorie der binären quadratischen Formen untersucht, deren Schöpfer
{\sc Fermat \sc} war [vgl.[14], IV §IV]. {\sc Lagrange und Gauss\sc} haben die Begriffe (äquivalent,
definit, indefinit, reduziert usw.) der Eigenschaften von quadratischen Formen eingeführt und viele
Sätze in diesem Bereich bewiesen. Als Ergebnis dieser Leistungen war der Beweis des
"`Drei-Quadrate-Satz"' von {\sc Legendre\sc} 1798, der eine Ungenauigkeit hatte. Diese Ungenauigkeit
wurde später von {\sc Gauss\sc} beseitigt. \\
Die Aussage, dass eine beliebige natürliche Zahl sich als Summe von vier Quadraten schreiben lässt,
wurde schon im Jahre 1621 von {\sc Bachet\sc} erkannt. Auch 1640 hat {\sc Fermat\sc} Gleiches
vermutet. Weiter, wie aus der Korrespondenz von {\sc Euler} an {\sc Goldbach\sc} zu entnehmen ist,
dass bis 1751 keiner einen Beweis der Aussage geben konnte [vgl.[14], III. Anhang II]. Die Anwendung
des "`Zwei-Quadrate-Satzes"' führte auch nicht zum gewünschten Ergebnis. Aber schon im Jahre 1770
hat {\sc Lagrange\sc} den Erfolgt gehabt. Im Beweis dieses Satzes hat er nicht nur die Summe von
zwei Quadraten sondern auch Summe von drei Quadraten und quadratische Formen verwendet. Unabhängig
von {\sc Lagrange\sc} entdeckte {\sc Hamilton\sc} viele Jahre später -- genauer 1843 -- die
vierdimensionalen Zahlen, die den "`Vier-Quadrate-Satz"' eine typische Produktregel ist. \\
Seitdem {\sc Fermat\sc} die Vermutung geäußert hat, dass eine Primzahl $p = 4k +1$ mit
$k\in\mathbb{N}$ nur eine einzelne Darstellung als Summe von zwei Quadraten hat, fragte er nach der
Anzahl der Darstellungen für eine beliebige natürliche Zahl in dieser Form und suchte eine Methode,
um diese Anzahl zu finden. In einem halben Jahr ist er zu vielen Behauptungen gekommen, die er nicht
beweisen konnte. Eine davon lautet, dass eine Primzahl $p = 4k - 1$ nicht die Summe zweier
teilerfremden Quadrate teilen kann, d.h., dass $-1$ ein nicht quadratischer Rest modulo dieser $p$
ist. Später, als {\sc Euler\sc} den Satz für Primzahlen $p \equiv 1 \bmod 4$ bewiesen hat, ist klar
geworden, dass die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl durch die Komposition aus der
Zerlegung in Primfaktoren berechnet werden kann. Für eine natürliche Zahl, die Summe von vier
Quadraten ist, hat {\sc Carl Gustav Jacob Jacobi\sc}\footnote{Carl Gustav Jacob Jacobi (* 10.
Dezember 1804 in Potsdam; \dag 18. Februar 1851 in Berlin), war ein deutscher Mathematiker.} die
Anzahl der Darstellungen 1828 berechnet.\\
Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, die natürlichen Zahlen als Summe von zwei, drei und vier
Quadraten zu betrachten und die Anzahl der Darstellungen der Summe von zwei und vier Quadraten zu
berechnen.\\
Im Rahmen des ersten Kapitels erfolgt die Betrachtung der natürlichen Zahlen als Summe von zwei
Quadraten. Zuerst werden die Voraussetzungen untersucht, unter denen sich eine natürliche Zahl in
dieser Form schreiben lässt. Dafür werden die {\sc Gauss\sc}schen Zahlen eingeführt und betrachtet.
Von besonderem Interesse ist hier der Begriff der \glqq Norm\grqq . Mit der Norm wird in dem
darauffolgenden Abschnitt gezeigt, dass eine Primzahl $p\equiv 1 \bmod 4$ und $p = 2$ die Summe von
zwei Quadraten ist. Im letzten Abschnitt des Kapitels wird gezeigt, welche Bedingungen erfüllt werden
müssen, um eine natürliche Zahl als Summe von zwei Quadraten darzustellen. \\
Im zweiten Kapitel werden die Quaternionen\footnote{lat. quaternio -Vierheit.} eingeführt, die im
vierdimensionalen $\mathbb{R}$-Vektorraum definiert sind. Die Quaternionen sind die hyperkomplexen
Zahlen mit drei imaginären Teilen. In Analogie zu den komplexen Zahlen werden ihre wichtigsten
Eigenschaften betrachtet. Auf der Basis dieser Zahlen wird der Satz von {\sc Lagrange\sc} bewiesen,
der sagt, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen schreiben lässt.
Im Kapitel $3$ erfolgt die Betrachtung der natürlichen Zahlen als Summe von drei Quadraten. Dafür
werden in den ersten drei Abschnitten die Vorbereitungen gemacht, nämlich die Betrachtung der
quadratischen Formen allgemein und danach der binären und der ternären quadratischen Formen. Am Ende
des dritten Kapitels wird gezeigt, wann eine ternäre quadratische Form äquivalent zur Summe von drei
Quadraten ist. Die Sätze und Methoden wie z. B. das {\sc Jacobi\sc}-Symbol, der Satz von {\sc
Dirichlet\sc}, das Reziprozitätsgesetz und der Chinesische Restsatz werden in dieser Arbeit ohne
Beweise verwendet. Mit ihrer Hilfe und mit Hilfe der ternären quadratischen Formen wird die
Darstellung einer natürliche Zahl $n$ als Summe von drei Quadraten bewiesen, die nicht in der Form
$n = 4^{a}(8k + 7)$ mit $a, k\in\mathbb{N}$ darstellbar ist.
Im Kapitel $4$ wird die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von zwei und vier
Quadraten berechnet. Zu Beginn wird die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe
von zwei Quadraten mit teilerfremden Summanden untersucht. Im folgenden Abschnitt werden die
Hilfsmittel wie die zahlentheoretischen Funktionen, die Charaktere und die Faltung mit ihren
Eigenschaften vorgestellt. Auf diesen Grundlagen wird im nächsten Abschnitt die Anzahl der
Darstellungen einer natürlichen Zahl $n = x^2 +y^2$ mit nicht notwendig teilerfremden $x$ und $y$
berechnet. Im letzten Abschnitt des Kapitels wird der Satz von {\sc Jacobi\sc} bewiesen, der die
Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten berechnet.
Im letzten Abschnitt der Arbeit wird das {\sc Waring\sc}sche Problem formuliert und ohne Beweis
erwähnt, dass es lösbar ist. Danach werden Spezialfälle vorgestellt, wobei der "`Vier-Quadrate-Satz"'
aus dem Kapitel $2$ ein Sonderfall davon ist. Abschließend wird auf offene Fragen eingegangen. \\
