Benutzer:Watchduck/Spielwiese

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Beispiele zur Aussagenlogik: Fahrer und Sanitäter[Bearbeiten]

Eine Aussage wird eindeutig bestimmt durch die Menge aller Fälle, in denen sie wahr ist.
Diese Menge könnte man die Gültigkeitsmenge einer Aussage nennen.
Haben zwei Aussagen die gleiche Gültigkeitsmenge, so sind sie gleich.

Die Gültigkeitsmenge einer Negation ist das Komplement der ursprünglichen Gültigkeitsmenge.
D.h. um die Negation einer Aussage zu kennen, muss man die Menge aller denkbaren Fälle kennen.

Diese Menge aller denkbaren Fälle kann man als Gültigkeitsmenge einer Aussage auffassen: Ihr entspricht dann die Tautologie.
Ebenso entspricht der leeren Menge die Kontradiktion.

Fälle die der Fall sein können und Aussagen die man sagen kann sind grundsätzlich versachiedene Objekte.
Wenn es n denkbare Fälle gibt, gibt es 2n Aussagen.
Allerdings ist eine Aussagen mit einelementiger Gültigkeitsmenge leicht mit dem einen Fall zu verwechseln, den ihre Gültigkeitsmenge enthält,
also mit dem einzigen Fall in dem sie wahr ist.


Ein einzelner Mitarbeiter[Bearbeiten]

Man kann sich dafür interessieren, ob ein Mitarbeiter Fahrer oder Sanitäter ist.
Es gibt genau vier Möglichkeiten, wie er diese Fähigkeiten haben oder nicht haben kann:

  • Venn1000.svg Er ist weder F, noch S.
  • Venn0100.svg Er ist F, aber nicht S.
  • Venn0010.svg Er ist nicht F, aber S.
  • Venn0001.svg Er ist F und S.

In Bezug auf diese Fähigkeiten gibt es nun 24 = 16 Aussagen, die man über einen einzelnen Mitarbeiter sagen kann:

  • Venn0000.svg
  • Venn1000.svg "Er ist weder F, noch S."
  • Venn0100.svg "Er ist F, aber nicht S."
  • Venn1100.svg
  • Venn0010.svg "Er ist nicht F, aber S."
  • Venn1010.svg
  • Venn0110.svg "Er ist entweder F oder S."
  • Venn1110.svg
  • Venn0001.svg "Er ist F und S."
  • Venn1001.svg
  • Venn0101.svg "Er ist F."
  • Venn1101.svg
  • Venn0011.svg "Er ist S."
  • Venn1011.svg
  • Venn0111.svg "Er ist F oder S."
  • Venn1111.svg


Eine Gruppe von Mitarbeitern[Bearbeiten]

Man kann sich dafür interessieren, ob auf eine Gruppe von Mitarbeitern folgende Aussagen zutreffen:

  • Venn1000.svg "Jemand ist weder F noch S."
  • Venn0100.svg "Jemand ist F, aber nicht S."
  • Venn0010.svg "Jemand ist nicht F, aber S."
  • Venn0001.svg "Jemand ist F und S."


Diese widersprechen sich nicht untereinander. Nimmt man an, dass die Gruppe aus mindestens einer Person besteht, sind 15 Fälle denkbar:

  • Venn1000.svg Alle sind weder F noch S.
  • Venn0100.svg Alle sind F, aber nicht S.
  • Venn1100.svg Es gibt F und nicht-F, die alle keine S sind.
  • Venn0010.svg Alle sind nicht F, aber S.
  • Venn1010.svg Es gibt S und nicht-S, die alle keine F sind.
  • Venn0110.svg Alle haben genau eine Fähigkeit. Es gibt F und S.
  • Venn1110.svg
  • Venn0001.svg Alle sind F und S.
  • Venn1001.svg
  • Venn0101.svg
  • Venn1101.svg
  • Venn0011.svg
  • Venn1011.svg
  • Venn0111.svg
  • Venn1111.svg


Damit gibt es 215 = 32768 Aussagen, die man sagen kann.

Z.B. Relation1011.svg "Alle F sind S."