Beweis
Es sei die endliche Folge vorgegeben. Wir wählen eine
Primzahl
, die größer als alle und größer als ist. Es sei
Die vorgegebene Folge ist also die Folge der Ziffern der ungeraden Stellen in der -adischen Ziffernentwicklung von . Wir behaupten
für
.
Zunächst erfüllt die in der Definition der -Funktion formulierten Eigenschaften, und zwar mit
-
-
-
Die erste Eigenschaft ergibt sich aus
die anderen sind klar. Wenn umgekehrt ein die Bedingungen erfüllt
(mit ),
wobei
ist, so ist
Da die -adische Entwicklung von eindeutig ist, folgen daraus und aus den weiteren Bedingungen die Gleichheiten
und
.