Es sei ( X , O X ) {\displaystyle {}(X,{\mathcal {O}}_{X})} ein beringter Raum. Es seien s 1 , … , s n ∈ Γ ( X , O X ) n {\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{n}} globale Schnitte mit s i = ( s i 1 , … , s i n ) {\displaystyle {}s_{i}=\left(s_{i1},\,\ldots ,\,s_{in}\right)} . Zeige, dass die Determinante der Matrix ( s i j ) 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle {}{\left(s_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}} genau dann eine Einheit in Γ ( X , O X ) {\displaystyle {}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})} ist, wenn der zugehörige O X {\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}} -Modulhomomorphismus O X n ⟶ O X n {\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{n}} , e i ⟼ s i {\displaystyle {}e_{i}\longmapsto s_{i}} , ein Isomorphismus ist.
ein
beringter Raum.
Es seien
globale Schnitte mit
.
Zeige, dass die
Determinante
der
Matrix
genau dann eine
Einheit
in 
ist, wenn der zugehörige
-Modulhomomorphismus
, 
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ein
Isomorphismus
ist.
