Bernoulli-Dreieck/Gewichtetes Mittel/p ist ein Drittel/Interpretation/Aufgabe/Lösung

Es ergibt sich das folgende Schema.
${\begin{matrix}&&&&&1&&&&&\\&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {2}{3}}&&&&\\&&&{\frac {1}{9}}&&{\frac {4}{9}}&&{\frac {4}{9}}&&\\&&{\frac {1}{27}}&&{\frac {2}{9}}&&{\frac {4}{9}}&&{\frac {8}{27}}&&\\&{\frac {1}{81}}&&{\frac {8}{81}}&&{\frac {8}{27}}&&{\frac {32}{81}}&&{\frac {16}{81}}&\end{matrix}}$
Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige ${}1$ steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der ${}n$ -ten Zeile gleich ${}1$ ist. Jeder Eintrag der ${}n$ -ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal mit dem Faktor ${}{\frac {1}{3}}$ nach links und einmal mit dem Faktor ${}{\frac {1}{3}}$ nach rechts. Insgesamt wird dabei die Ausgangszahl auf die beiden Nachfolger in der folgenden Zeile verteilt. Die Gesamtsumme ändert sich dabei nicht und ist also wieder gleich ${}1$ .
Es ist
${}B_{{\frac {2}{3}},n}(k)={\binom {n}{k}}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n-k}\,.$

Für ${}n=0$ ist

${}B_{{\frac {2}{3}},0}(0)=1\cdot {\left({\frac {2}{3}}\right)}^{0}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{0}=1\,,$

was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach Fakt

${}{\begin{aligned}B_{{\frac {2}{3}},n+1}(k)&={\binom {n+1}{k}}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n+1-k}\\&={\left({\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n+1-k}\\&={\binom {n}{k}}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n+1-k}+{\binom {n}{k-1}}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n+1-k}\\&={\frac {1}{3}}{\binom {n}{k}}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n-k}+{\frac {2}{3}}{\binom {n}{k-1}}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{k-1}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n+1-k}\\&={\frac {1}{3}}B_{{\frac {2}{3}},n}(k)+{\frac {2}{3}}B_{{\frac {2}{3}},n}(k-1).\end{aligned}}$

D.h. die Zahlen in der Binomialverteilung ${}B_{{\frac {2}{3}},n+1}(k)$ erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der ${}n$ -ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.

Zur gelösten Aufgabe