Bernoulli-Polynome/Berechnung/Aufgabe/Lösung

1. Die Stammfunktionen von ${}1B_{0}=1$ sind ${}x+c$ mit einer Konstanten ${}c$. Die Bedingung

   ${}0=\int _{0}^{1}(x+c)dx=\left({\frac {1}{2}}x^{2}+cx\right)|_{0}^{1}={\frac {1}{2}}+c\,$

   führt auf

   ${}c=-{\frac {1}{2}}\,$

   und daher

   ${}B_{1}=x-{\frac {1}{2}}\,.$

2. Die Stammfunktionen von ${}2B_{1}=2x-1$ sind ${}x^{2}-x+a$ mit einer Konstanten ${}a$. Die Bedingung

   ${}{\begin{aligned}0&=\int _{0}^{1}(x^{2}-x+a)dx\\&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+ax\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+a\\&=-{\frac {1}{6}}+a\end{aligned}}$

   führt auf

   ${}a={\frac {1}{6}}\,$

   und daher

   ${}B_{2}=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\,.$

3. Die Stammfunktionen von ${}3B_{2}=3x^{2}-3x+{\frac {1}{2}}$ sind ${}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x+b$ mit einer Konstanten ${}b$. Die Bedingung

   ${}{\begin{aligned}0&=\int _{0}^{1}(x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x+b)dx\\&=\left({\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{4}}x^{2}+bx\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+b\\&=b\end{aligned}}$

   führt auf

   ${}b=0\,$

   und daher

   ${}B_{3}=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,.$

Zur gelösten Aufgabe