Bestimmtes Integral/x durch dritte Wurzel aus 5x+1/0 bis 1/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution

${}y={\sqrt[{3}]{5x+1}}\,$

mit der Umkehrfunktion

${}x={\frac {y^{3}-1}{5}}\,$

und

${}dx={\frac {3y^{2}}{5}}dy\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx&=\int _{1}^{\sqrt[{3}]{6}}{\frac {\frac {y^{3}-1}{5}}{y}}\cdot {\frac {3y^{2}}{5}}dy\\&={\frac {3}{25}}\int _{1}^{\sqrt[{3}]{6}}y^{4}-ydy\\&={\frac {3}{25}}[{\frac {1}{5}}y^{5}-{\frac {1}{2}}y^{2}]_{1}^{\sqrt[{3}]{6}}\\&={\frac {3}{25}}{\left({\frac {1}{5}}{\sqrt[{3}]{6}}^{5}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{6}}^{2}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&={\frac {3}{125}}6^{\frac {5}{3}}-{\frac {3}{50}}6^{\frac {2}{3}}+{\frac {9}{250}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe