Betrag/Nicht differenzierbar/Beispiel

Die Funktion ${}\vert {-}\vert \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}t\longmapsto \vert {t}\vert$ ist im Punkt ${}P=0$ nicht differenzierbar. Eine lineare Abbildung ist hier gegeben durch ${}v\mapsto cv$ mit einem ${}c\in \mathbb {R}$. Wir müssen den Ausdruck ${}{\frac {\vert {v}\vert -cv}{\vert {v}\vert }}$ betrachten. Dieser ist ${}1-c$ für ${}v>0$ und ${}1+c$ für ${}v<0$. Also existiert für ${}c\neq 0$ der Grenzwert nicht (da die Limiten von rechts und von links nicht übereinstimmen), und bei ${}c=0$ ist der Grenzwert gleich ${}1\neq 0$.