Betrag xy/Ableitungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

Es sei $v = (c, d)$ der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung
$h (t) = f (0 + t v) = f (t c, t d) = | t c | \cdot | t d | = | t^{2} | | c | \cdot | d | = t^{2} | c | \cdot | d |$

im Nullpunkt als Funktion in $t$ differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert $0$ ), da eine (gestreckte) Parabel vorliegt.
Es sei $P = (a, b)$ und $v = (c, d)$ . Es sei zunächst $a = 0$ und $b \neq 0$ . Es geht um die Abbildung
$h (t) = f (P + t v) = f (t c, b + t d) = | t c | \cdot | b + t d | = | t | | c | \cdot | b + t d | .$

Bei $c = 0$ handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also $c \neq 0$ . Für hinreichend kleines $t$ besitzt $| b + t d |$ das gleiche Vorzeichen wie $b$ , die Funktion kann man also für $t$ hinreichend klein als

$\pm | t | | c | \cdot (b + t d) = \pm | t | | c | b + \pm | t | t d$

schreiben. Der zweite Summand ist differenzierbar in $0$ , der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht. Der Fall $a \neq 0$ und $b = 0$ ist völlig analog. Für $a \neq 0$ und $b \neq 0$ siehe den nächsten Teil.
Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential $0$ . Dazu ist zu zeigen, dass $\frac{| c | | d |}{\sqrt{c^{2} + d^{2}}}$ für $(c, d) \to 0$ gegen $0$ konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung
$\frac{| c | | d |}{\sqrt{c^{2} + d^{2}}} \leq \frac{\sqrt{c^{2} + d^{2}} \cdot \sqrt{c^{2} + d^{2}}}{\sqrt{c^{2} + d^{2}}} = \sqrt{c^{2} + d^{2}} .$

Für einen Punkt $(a, b)$ , für den eine Koordinate gleich $0$ ist, existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist $f$ in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun $P = (a, b)$ mit $a, b \neq 0$ . Dann gibt es eine hinreichend kleine $ϵ$ -Umgebung $U$ von $P$ derart, dass die Koordinaten der Punkte aus $U$ das gleiche Vorzeichen haben wie $a$ bzw. $b$ ( $U$ liegt ganz im offenen Quadranten von $P$ ). Auf $U$ ist

$f (x, y) = | x | | y | = \pm x y$

und daher ist $f$ in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.

Zur gelösten Aufgabe