Betrag xy/Ableitungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}v=\left(c,\,d\right)$ der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung

   ${}h(t)=f(0+tv)=f(tc,td)=\vert {tc}\vert \cdot \vert {td}\vert =\vert {t^{2}}\vert \vert {c}\vert \cdot \vert {d}\vert =t^{2}\vert {c}\vert \cdot \vert {d}\vert \,$

   im Nullpunkt als Funktion in ${}t$ differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert ${}0$), da eine (gestreckte) Parabel vorliegt.

2. Es sei ${}P=\left(a,\,b\right)$ und ${}v=\left(c,\,d\right)$. Es sei zunächst ${}a=0$ und ${}b\neq 0$. Es geht um die Abbildung

   ${}h(t)=f(P+tv)=f(tc,b+td)=\vert {tc}\vert \cdot \vert {b+td}\vert =\vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot \vert {b+td}\vert \,.$

   Bei ${}c=0$ handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also ${}c\neq 0$. Für hinreichend kleines ${}t$ besitzt ${}\vert {b+td}\vert$ das gleiche Vorzeichen wie ${}b$, die Funktion kann man also für ${}t$ hinreichend klein als

   ${}\pm \vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot {\left(b+td\right)}=\pm \vert {t}\vert \vert {c}\vert b+\pm \vert {t}\vert td\,$

   schreiben. Der zweite Summand ist differenzierbar in ${}0$, der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht. Der Fall ${}a\neq 0$ und ${}b=0$ ist völlig analog. Für ${}a\neq 0$ und ${}b\neq 0$ siehe den nächsten Teil.

3. Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential ${}0$. Dazu ist zu zeigen, dass ${}{\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}$ für ${}\left(c,\,d\right)\rightarrow 0$ gegen ${}0$ konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung

   ${}{\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}\leq {\frac {{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\,.$

   Für einen Punkt ${}\left(a,\,b\right)$, für den eine Koordinate gleich ${}0$ ist, existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist ${}f$ in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun ${}P=\left(a,\,b\right)$ mit ${}a,b\neq 0$. Dann gibt es eine hinreichend kleine ${}\epsilon$-Umgebung ${}U$ von ${}P$ derart, dass die Koordinaten der Punkte aus ${}U$ das gleiche Vorzeichen haben wie ${}a$ bzw. ${}b$ (${}U$ liegt ganz im offenen Quadranten von ${}P$). Auf ${}U$ ist

   ${}f(x,y)=\vert {x}\vert \vert {y}\vert =\pm xy\,$

   und daher ist ${}f$ in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.

Zur gelösten Aufgabe