Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe/Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen ${}{\frac {3}{2}}$ und ${}{\frac {7}{5}}$ mit

${}{\frac {7}{5}}<{\frac {3}{2}}\,.$

Wenn

${}x\leq {\frac {7}{5}}\,$

ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

${}-(2x-3)\geq -(5x-7)\,$

und damit zu

${}2x-3\leq 5x-7\,$

und zu

${}4\leq 3x\,,$

also

${}x\geq {\frac {4}{3}}\,.$

Das Intervall ${}[{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}}]$ gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun

${}{\frac {7}{5}}\leq x\leq {\frac {3}{2}}\,.$

Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

${}-(2x-3)\geq 5x-7\,$

und damit zu

${}-2x+3\geq 5x-7\,$

und zu

${}10\geq 7x\,,$

also

${}x\leq {\frac {10}{7}}\,.$

Es ist

${}{\frac {7}{5}}\leq {\frac {10}{7}}\leq {\frac {3}{2}}\,$

und somit gehört das Intervall ${}[{\frac {7}{5}},{\frac {10}{7}}]$ zur Lösungsmenge. Es sei nun

${}x\geq {\frac {3}{2}}\,.$

Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

${}2x-3\geq 5x-7\,$

führt auf

${}x\leq {\frac {4}{3}}\,,$

was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall

$[{\frac {4}{3}},{\frac {10}{7}}].$

Zur gelösten Aufgabe