Bildmaß/Exponentialfunktion/Einwohneranzahl/Beispiel

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 10^{x},$

die Exponentialfunktion zur Basis ${}10$ und ${}\nu$ das Bildmaß zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{1}$. Für ein Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ist

${}\nu ([a,b])=\lambda ^{1}(\varphi ^{-1}([a,b]))=\lambda ^{1}([\operatorname {log} _{10}^{}{\left(a\right)},\operatorname {log} _{10}^{}{\left(b\right)}])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(b\right)}-\operatorname {log} _{10}^{}{\left(a\right)}\,.$

Insbesondere haben die Intervalle

$\ldots ,[{\frac {1}{100}},{\frac {1}{10}}],\,[{\frac {1}{10}},1],\,[1,10],\,[10,100],\,[100,1000],\ldots$

unter ${}\nu$ alle das Maß ${}1$. Das Maß ${}\nu$ ist also „unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt“.

Wenn man zur Menge aller Städte (auf der Erde oder in Deutschland) die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer ${}1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern ${}2,3,\ldots$. Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen ${}100000$ und ${}200000$ Einwohnern, aber keine mit zwischen ${}800000$ und ${}900000$ Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten Benfordschen Gesetz. Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen (mit einer kleinen Basis), und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist (in einem endlichen Zeitintervall), so kann man die Stadtgründungen durch ${}\lambda ^{1}$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß ${}\nu$ (bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit). Es ist dann beispielsweise

${}\nu ([1,2])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(2\right)}=0,301\ldots \,$

und

${}\nu ([8,9])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(2\right)}=0,051\ldots \,$

und entsprechend für die Intervalle ${}[10,20]$, ${}[100,200]$, etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.