Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und sei $\zeta$ eine $2n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise

$\zeta =e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{2n}}=e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{n}}.$

Die von den Matrizen

$A=A_{2n}=\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& {\zeta }^{-1}\end{array}\right)\text{ und }B=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)$

erzeugte Untergruppe der ${\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right)$ heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit $B{D}_n$ bezeichnet. Das Element $A$ besitzt die Ordnung $2n$ und es ist

$A^n=\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^n& 0\\ 0& {\zeta }^{-n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=B^2.$

Insbesondere besitzt $B$ die Ordnung $4$. Es ist

$BA=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& {\zeta }^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}{\zeta }^{-1}\\ \mathrm{i}\zeta & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^{-1}& 0\\ 0& \zeta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)=A^{2n-1}B.$

Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als

$A^i{B}^j\text{ mit }0\le i\le 2n-1,0\le j\le 1,$

schreiben. Da $B$ nicht zu der von $A$ erzeugten Untergruppe gehört und (bei $n\ge 2$) umgekehrt, ist diese Darstellung bei  $n\ge 2$  eindeutig und $B{D}_n$ besitzt genau $4n$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung  $Z_{2n}\subseteq B{D}_n$  vom Index $2$ vor.