Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Es sei ${}\xi$ eine primitive ${}5$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen

$E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}.$

Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist

${}E^{5}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$

und somit besitzt ${}E$ die Ordnung ${}10$. Wegen

${}{\begin{aligned}F^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}\xi ^{2}+\xi ^{3}-2+\xi ^{4}+\xi -2&0\\0&\xi ^{4}+\xi -2+\xi ^{2}+\xi ^{3}-2\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

besitzt ${}F$ die Ordnung ${}4$. Ferner ist

${}{\begin{aligned}EF&=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Dabei ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}$

und (unter Verwendung von ${}\xi ^{2}+\xi ^{3}=-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$)

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi &0\\0&5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}&0\\0&-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5{\sqrt {5}}&0\\0&5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}},\,\end{aligned}}$

also ist

${}(EF)^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$

und die Ordnung von ${}EF$ ist ${}6$. Diese Gruppe besitzt ${}120$ Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit ${}BI$ bezeichnet.