Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=2$ ist

${}{\binom {2}{2}}=1\,$

keine Primzahl. Für ${}n=3$ ist

${}{\binom {3}{2}}=3\,$

eine Primzahl. Wir behaupten, dass für ${}n\geq 4$ der Binomialkoeffizient

${}{\binom {n}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\,$

keine Primzahl ist. Wenn nämlich ${}n$ gerade ist, so ist ${}n-1$ gerade und es ist

${}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)\,$

und beide Faktoren sind ${}\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor. Wenn ${}n$ ungerade ist, so ist

${}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=n\cdot {\frac {n-1}{2}}\,$

und wieder sind beide Faktoren ${}\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor.

Zur gelösten Aufgabe