Binomialverteilung/Varianz/Fakt

Dann ist

${}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}-np\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=np(1-p)\,$

und

${}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {p(1-p)}{n}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen