Binomialverteilung/Varianzlemma/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist

   ${}P(x,y)=P(x)\cdot P(y)\,.$

   Somit ist

   ${}\sum _{x\in \{0,1\}}(x-p)^{2}\cdot P(x)=p^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)(p+1-p)=p(1-p)\,.$

2. Es ist

   ${}\sum _{(x,y)\in \{0,1\}\times \{0,1\}}(x-p)(y-p)\cdot P(x,y)=p^{2}(1-p)(1-p)-2p(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p^{2}=0\,.$

Zur bewiesenen Aussage