Binomische Formel/n ist 5/Aus n ist 4/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring ${}R$ . Der binomische Lehrsatz für ${}n=4$ besagt

{}(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,.

Somit ist

{}{\begin{aligned}(a+b)^{5}&=(a+b)(a+b)^{4}\\&=(a+b){\left(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\right)}\\&=a{\left(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\right)}+b{\left(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\right)}\\&=a^{5}+4a^{4}b+6a^{3}b^{2}+4a^{2}b^{3}+ab^{4}+a^{4}b+4a^{3}b^{2}+6a^{2}b^{3}+4ab^{4}+b^{5}\\&=a^{5}+4a^{4}b+a^{4}b+6a^{3}b^{2}+4a^{3}b^{2}+4a^{2}b^{3}+6a^{2}b^{3}+ab^{4}+4ab^{4}+b^{5}\\&=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5},\end{aligned}}

und dies besagt der binomische Lehrsatz für den Exponenten

{}5

.