Blatt Papier/Konfetti/Aufgabe/Lösung

a) Die Fläche der Plättchen ist (alle Flächenangaben sind in Quadratzentimetern)

${}\pi \cdot 0{,}25^{2}=\pi \cdot 0{,}0625\,.$

Dies liegt zwischen

${}3{,}14\cdot 0{,}0625=0,19625<\pi \cdot 0{,}0625<3{,}15\cdot 0{,}0625=0{,}196875\,.$

Da das Blatt ${}600$ Quadratzentimetern Fläche besitzt, kann man aus Materialgründen maximal

${}600:0{,}19625=3057{,}3\,,$

also allerhöchstens ${}3057$ Plättchen erhalten.

b) Wir ordnen auf dem Blatt die Kreise aneinanderliegend in Reihen an, wobei wir das Blatt im Hochformat nehmen. Die geraden Reihen werden um ${}0{,}25$ cm nach rechts verschoben, um die Zwischenräume besser aufzufüllen. Die Reihen erhalten dann abwechselnd ${}40$ bzw. ${}39$ Kreise. Der vertikale Abstand der Kreismittelpunkte zwischen zwei benachbarten Reihen ist

${\frac {\sqrt {3}}{4}}.$

Dabei ist

${}{\sqrt {3}}\leq 1{,}8\,$

und

${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}\leq 0{,}45\,$

Somit gibt es mindestens

${}30:0{,}45=66{,}666\dotso \,,$

also mindestens ${}66$ Reihen. Mit dieser Methode erhält man

${}33\cdot 40+33\cdot 39=33\cdot 79=2607\,$

Plättchen.

c) Bei den neun Halbierungen wird die längere Seite fünfmal und die kürzere Seite viermal halbiert. Die entstehenden Längen des Bündels ergeben sich aus

$30\rightarrow 15\rightarrow 7{,}5\rightarrow 3{,}75\rightarrow 1{,}875\rightarrow 0{,}9375$

und aus

$20\rightarrow 10\rightarrow 5\rightarrow 2{,}5\rightarrow 1{,}25.$

Nach der in b) beschriebenen Methode (wobei man das Bündel im Querformat nimmt) kann man wegen

${}2\cdot 0{,}45=0{,}9\leq 0{,}9375\,$

zwei Reihen mit je zwei Kreisen platzieren (${}5$ kann man sicher nicht rausstanzen). Insgesamt ergeben sich so

${}2^{9}\cdot 4=2^{11}=2048\,$

Konfettiplättchen.

Zur gelösten Aufgabe