Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass ${}x\sqcap y$ komplementär zu ${}\neg x\sqcup \neg y$ ist. Wegen der Eindeutigkeit des Komplements in einem booleschen Verband ist dies die Behauptung. Unter Verwendung der Distributivgesetze ist einerseits

${}{\begin{aligned}(x\sqcap y)\sqcup (\neg x\sqcup \neg y)&=(x\sqcup (\neg x\sqcup \neg y))\sqcap (y\sqcup (\neg x\sqcup \neg y))\\&=(x\sqcup \neg x\sqcup \neg y)\sqcap (y\sqcup \neg x\sqcup \neg y)\\&=(1\sqcup \neg y)\sqcap (1\sqcup \neg x)\\&=1\sqcap 1\\&=1\end{aligned}}$

und andererseits

${}{\begin{aligned}(x\sqcap y)\sqcap (\neg x\sqcup \neg y)&=((x\sqcap y)\sqcap \neg x))\sqcup ((x\sqcap y)\sqcap \neg y))\\&=(0\sqcap y)\sqcup (0\sqcap x)\\&=0\sqcup 0\\&=0.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe