Boot/Unten 10 mal 2, oben 3 mal 12/Tiefgang 1,5/Maximale Beladung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe ${}h$ über der Grundseite. Für die Länge gilt

${}L(h)=h+10\,,$

da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt

${}B(h)={\frac {1}{2}}h+2\,.$

Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich

${}Q(h)=L(h)\cdot B(h)={\left(h+10\right)}{\left({\frac {1}{2}}h+2\right)}={\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,$

Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe ${}g$ gleich

${}V(g)=\int _{0}^{g}{\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,dh={\frac {1}{6}}g^{3}+{\frac {7}{2}}g^{2}+20g\,.$

Für ${}g=1{,}5$ ergibt sich

${}{\begin{aligned}V(1{,}5)&={\frac {1}{6}}\cdot 1{,}5^{3}+{\frac {7}{2}}\cdot 1{,}5^{2}+20\cdot 1{,}5\\&=0{,}25\cdot 2{,}25+{\frac {7}{2}}\cdot 2{,}25+30\\&=0{,}5625+7{,}875+30\\&=38{,}4375\end{aligned}}$

in Kubikmetern. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens. Also darf das Schiff maximal ${}38{,}4375$ Tonnen wiegen, sodass es eine Ladung von ${}26{,}4375$ Tonnen befördern kann.

Zur gelösten Aufgabe