Cauchy-Folge/Keine Nullfolge/Positiv oder negativ/Aufgabe/Lösung

Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge ist, gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es zu jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ ein ${}n\geq n_{0}$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ${}\epsilon /2$ ein ${}k$ derart, dass für alle ${}m,n\geq k$ die Abschätzung ${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Es sei nun ${}n\geq k$ so gewählt, dass ${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ ist.

Bei ${}x_{n}>0$ gilt für alle ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\geq x_{n}-{\frac {\epsilon }{2}}\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}\\&={\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$

sodass für ${}m\geq n$ alle Folgenglieder positiv sind.

Bei ${}x_{n}<0$ gilt für alle ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\leq x_{n}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq -\epsilon +{\frac {\epsilon }{2}}\\&=-{\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$

sodass für ${}m\geq n$ alle Folgenglieder negativ sind.

Zur gelösten Aufgabe