Cauchy-Folge/R/Nullfolgen/R/Aufgabe

Es sei

${}D={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{ Cauchy-Folge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$

und ${}N$ das Ideal der Nullfolgen in ${}D$.

1. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\psi \colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt.

2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon D/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt.

3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow D{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

   bijektiv ist.

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