Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Antiverhalten/Aufgabe

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen. Zeige, dass man die ${}z_{n}$ durch rationale Cauchy-Folgen ${}x_{ni},\,i\in \mathbb {N}$, derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge

${}y_{n}:=x_{nn}\,$

(siehe Fakt)

1. in ${}\mathbb {R}$ nicht konvergiert,
2. in ${}\mathbb {R}$ konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von ${}z_{n}$,
3. in ${}\mathbb {R}$ konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von ${}z_{n}$.

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