Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Antiverhalten/Aufgabe

Es sei ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen. Zeige, dass man die $z_n$ durch rationale Cauchy-Folgen $x_{ni},i\in \mathbb{N}$, derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge

$y_n:=x_{nn}$

(siehe Fakt)

1. in $ℝ$ nicht konvergiert,
2. in $ℝ$ konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von $z_n$,
3. in $ℝ$ konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von $z_n$.

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