Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Quadratwurzel 5/Heron-Verfahren/Aufgabe

Es sei $u_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{5}$ mit dem Startwert $u_{0} = 1$ , also $u_{1} = 3$ , $u_{2} = \frac{7}{3}$ , $u_{3} = \frac{47}{21}$ , ... Wir betrachten die reelle Folge

z_{n} := \sqrt{u_{n}} .

Zu jedem $n$ sei $x_{n i}, i \in ℕ$ , die Heron-Folge zur Berechnung von $z_{n} = \sqrt{u_{n}}$ mit dem Startwert $x_{n 0} = 1$ . Bestimme die Diagonalfolgenglieder $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ im Sinne von Fakt. Zeige, dass $z_{n}$ eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.

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